充分挖掘課本例習題進行探究式教學

蔡飛慶

浙江省湖州市第一中學 (313000)

一、對探究式教學的認識

所謂探究式教學，是以培養學生具有“不斷追求卓越的態度和提出問題、解決問題的能力”為基本目標，用與教學內容相關的問題作為載體，讓學生在教師的組織和指導下有目的地相對獨立地進行探索研究，從而促進學生思維水平的發展，提高學生運用知識解決問題的能力，并從中感悟到科學研究的基本策略和方法，得到科學思想的熏陶，為培養創新精神、創造思維打好基礎.

其教學結構如下圖所示：

二、探究式教學中教師和學生的定位

在探究式教學中，要求教師從知識的權威者變為學生知識學習的參與者、引導者和指導者，要將學習的重心從過分強調知識的傳承和積累向知識的探究過程轉化，使學生由被動接受知識變為主動獲取知識.

在探究式課程中教師和學生的地位與作用如圖：

三、探究式教學案例應用

案例1 呈現背景問題：(新教材《數學》第一冊(上)P43，B組第3題)已知A={x||x-1|≥a},狟=x|2x-1<3x+5

5x-2<3x+6,且A∩B=I，求a的范圍.

教師引導問題分析：該題中集合B容易求得，而在解A時需對a進行分類討論.抓住這個特點，能否將該題改編成存在型探索性問題?

學生合作問題設計：已知A={x||x-1|≥a},B=x|2x-1<3x+5

5x-2<3x+6,問是否存在a，使得A∩B=I?若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由.

學生討論拓展問題：若把上面問題中的“A∩B=I”這個條件改為“A∩B=B”或“A糂”等，應如何解決?

師生共同探求問題：解：①若把“A∩B=I”改為“A∩B=B”，由A可知當a≤0時，A=R.顯然有A∩B=B成立；當a>0時，A={x|x≤-a+1或x≥a+1}.∵A∩B=B，

∴可得a∈I.綜上可知存在這樣的實數a,a的范圍是(-∞，0］.②若把“A∩B=I”改為“A糂”，同樣對a進行分類討論，可得不存在這樣的a使A糂成立.

案例2 呈現背景問題：(新教材《數學》第一冊(上)P107，B組第3題)(1)若f(x)=ax+b，則f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2;(2)若ゝ(x)=ax2+bx+c，則f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2.

教師引導問題分析：本題中沒有明確指出a、b的范圍，說明所求的式子與a、b的值無關.抓住這個特征，可否將該題改編為一道比較型和存在型的探索性問題?

學生合作問題設計：已知f(x)=ax2+bx+c，(1)若a=0，請比較ゝ(x1+x22)與f(x1)+f(x2)2的大??；(2)若a=1，請比較ゝ(x1+x22)與f(x1)+f(x2)2的大小；(3)是否存在常數a，使得f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2成立?若成立，請求出a的范圍；若不成立，請說明理由.

師生共同探求問題：(1)、(2)兩問就是上面的例題.下面解答第(3)問：∵f(x1+x22)-f(x1)+f(x2)2=a(x1+x22)2+b?x1+x22+c-a(x12+x22)+b(x1+x2)+2c2=a2?［(x1+x2)22-(x12+x22)］=-a4(x1-x2)2,若f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，則只需a≤0就能使命題成立.同理a≥0就使命題ゝ(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立.

師生討論拓展問題：從問題的逆向來思考，還可以設計如下的討論型探索性問題：已知函數f(x)具有性質f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2,給出下列函數：(1)y=x2;(2)y=2瑇;(3)y=玪og2x;(4)y=玞os玿,x∈［π2,3π2］；(5)y=玹an玿,x∈［0,π2).則在函數定義域內具有這個性質的函數有 .

解：∵f(x)具有性質f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2這個性質，∴f(x)的圖像具有凹性.上述函數中具有這個特性的有(1)、(2)、(4)、(5).

案例3 呈現背景問題：(新教材《數學》第一冊(上)P141，B組第1題)已知數列{a璶}的前n項和S璶=a琻-1(a是不為0的實數)，那么{a璶}().

A.一定是等差數列 B.一定是等比數列

C.或者是等差數列，或者是等比數列

D.既不是等差數列，也不可能是等比數列

教師引導問題分析：該題抓住同學們思維不縝密的毛病，在解答該題時容易忽視a=1，從而選擇錯誤的答案B.現在在發現這一點的基礎上，如何將該題擬編成判斷型的探索性問題?

學生合作問題設計：已知數列{a璶}的前n項和S璶=a琻-1(a是不為0的實數).請問：{a璶}是否是等比數列?若不是，那么要使{a璶}為等比數列，a還需要滿足什么條件?

學生交流問題探求：當n≥2時，a璶=S璶-S﹏-1=a琻-a﹏-1=a﹏-1(a-1);當n=1時，a1=S1=a-1.

若a=1，則數列的項均為0，這個數列是等差數列，不是等比數列.若a≠1，則a璶a﹏-1=a﹏-1(a-1)a琻(a-1)=a.這個數列是等比數列，不是等差數列.∴要使{a璶}為等比數列，則a≠1.

案例4 呈現背景問題：(新教材《數學》第二冊(上)P12，例3)已知a、b是正數，且a≠b.求證：a3+b3>a2b+ab2.

教師引導問題分析：觀察可得不等式的兩邊次數相等，都為3，且a、b的大小不確定.抓住這一特征，能否將該題的次數擴大，改編成一道比較型的探索性問題?

學生合作問題設計：已知a、b是正數，m、n∈N,且n≥m≥1，比較a琻+b琻與a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m的大小.

師生共同完成問題探求：a琻+b琻-a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m=(a琻-a﹏-m猙琺)+(b琻-a琺b﹏-m)=a﹏-m(a琺-b琺)+b﹏-m(b琺-a琺)=(a琺-b琺)(a﹏-m-b﹏-m).當a>b>0時，a琺>b琺,a﹏-m>b﹏-m，此時a琻+b琻>a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.當a=b=0時，a琻+b琻=a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.當0a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.

綜上a琻+b琻≥a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.

案例5 呈現背景問題：(新教材《數學》第二冊(上)P130，例2)直線y=x-2與y2=2x相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB.

教師引導問題分析：易得直線與x軸的交點為(2，0)，拋物線的焦點為(12，0)，所以直線y=x-2是通過(2，0)的一條直線.這樣，該例題其實是下面命題的一個特例.

已知拋物線y2=2px，p表示焦點到準線的距離，過點(2p,0)的直線與拋物線交于A、B兩點.求證：OA⊥OB.

容易證明這個命題的正確性，并且它的逆命題也是正確的.在發現這個特征的基礎上，如何將該命題改造為一道存在型探索性問題.

師生合作問題設計：已知拋物線C的頂點為原點，問在拋物線C所在的平面內是否存在定點M，使得過M的直線與拋物線C交于A、B兩點，且∠AOB為直角?

師生合作問題探求：設拋物線的方程為y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則y12=2px1,y22=2px2.∵∠AOB=90°,∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0.∴y12y22=2px1?2px2=4p2x1x2=-4p2y1y2,∴y1y2=-4p2.

∵y22-y12=(y1+y2)(y2-y1)=2p(x2-x1)，若x1≠x2，則y2-y1x2-x1=2py1+y2,∴直線AB的方程為y-y1=2py1+y2(x-x1)=2py1+y2?(x-y122p).∴y=2py1+y2x-y12y1+y2+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2=2py1+y2(x-2p),∴直線AB過定點(2p,0).若x1=x2,則y1=-y2.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x12-y12=0,x12-2px1=0,∴x1=2p.故直線AB過定點(2p，0)，所以存在這樣的定點M使得命題成立.

教師引導問題延拓：從問題的特點去思考，還可以設計如下的存在型探索性問題.

已知拋物線y2=2px(p>0)，過點(2p，0)的直線與拋物線交于A、B兩點.問三角形AOB的面積是否存在最小值?若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

解：設直線的方程my=x-2p，其中m=1k.由my=x-2p

y2=2px得my=y22p-2p,所以y2-2pmy-4p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=2p?m2+4,所以S△AOB=12?2p|y1-y2|=2p2

?m2+4.當m=0時，即AB垂直于x軸時，S┆玬in=4p2.

以上僅列舉了五個案例，數學課本中相關的好題還有不少.對其進行挖掘、加工、引申和改造，就會得到一些綜合性強、能力要求高、符合創新精神的新命題.這樣不僅能激發學生的學習興趣，夯實學生的認知結構，對學生思維水平、應用知識解決問題的能力的提高也會起到事半功倍的作用，從而最終提高學生的創新能力.

參考文獻

［1］王立軍.新教材教學中探究式教學的探索與實踐.數學通訊，2004(1).