數學史在中學數學教育中的作用

摘 要：數學史對數學教育有著很大的意義，這在十九世紀就已經引起了數學史家們的注意。針對在中學數學教學中忽視對數學史的教育的這一現象，本文結合相關資料談一談數學史在中學數學教育中的作用。

關鍵詞：數學史 中學數學教育

引言

伴隨著信息時代的到來，數學知識更加廣泛和自覺地滲透到科學技術的各個領域中，數學開始更加緊密地和其他學科聯系起來，成了一種指導人們的“現實文化”。英國數學家、哲學家懷特海德（Whitehead）曾經說：“數學是對于客觀世界的量化模式的建構與研究。”這是對當今數學的特征的總結。可見，當今世界要有所作為數學知識必不可少，中學數學又由其基礎性，更是非學好不可，專業知識與歷史知識總是互為補充的。就是說，不僅研究、學習歷史需要具備一定的專業知識，數學史是學習數學、認識數學的工具；而且學習專業知識也同樣需要用歷史知識幫助分析和思考。《數學課程標準》指出：“數學課程應當反映數學的歷史應用和發展趨勢。”因此，讓學生了解數學課程的發展歷史是促進數學學習的必要途徑。利用數學史不但可以加深學生對數學本質的了解，同時還可以在很大程度上拓展學生的視野。

一、數學史能激發學生學習數學的興趣

新課標提出教師除了傳授知識以外，還應該把情感、態度的培養作為教學中一項重要工作，只有這樣，學生才會對數學學習產生濃厚興趣，而興趣在學習中所起的作用是眾所周知的。“知之者不如好之者”，教師要努力培養學生對數學的興趣，至少不要使學生厭惡數學。美國心理學家布魯納認為，使學生處于被動接受狀態會壓抑學生學習的主動性，主張在教師精心引導下，教學方法應該多種多樣，以使學生逐漸產生對數學的學習興趣。可以說一個教師教學成功的關鍵就在于是否能培養學生對該學科的興趣并使其能長久地保持下去。在實際教學中一般應注意下列事項：

(1)注意每堂課的開始，每節、每章及整個課程的開始，使學生有興趣，能吸引其注意力，好的開始是成功的一半。

(2)針對青少年心理，可以采用故事方式，語言要生動，富于啟發性，使學生常有新鮮感。了解數學史，能增長見識，開拓視野，產生對數學的好奇心，增強對數學的興趣。華羅庚、陳景潤都是非常出色的數學家，華羅庚促進了奧林匹克數學的發展，陳景潤與歌德巴赫猜想的故事為中國人贏得了驕傲。牛頓由蘋果自然落地而發現、提出了萬有引力，在力學研究史上是一次很了不起的發展；愛迪生不畏困難，對科學執著追求，才博得了“發明大王”的稱號。又如，高斯7歲那年上學了。頭兩年沒有什么特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班次，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數學教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長起了很大的作用。在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案。不過，這很可能是一個不真實故事。據對高斯素有研究的著名數學史家E.T.貝爾（E.T.Bell）考證，高斯10歲時，布特納剛敘述完題目：81297+81495+81693+…+100899，高斯就算出了正確答案。貝爾根據高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點。聽了這些故事學生的學習熱情高漲，都會準備著為科學的發展而努力讀書。

二、數學史能使學生對引入數學問題、概念、理論和方法的動機與產生的后果有所了解

提到這一點我們不妨來看一下非歐幾何的發現過程。非歐幾何的開山祖師有三人：高斯、Lobatchevsky（羅巴切烏斯基，1793～1856）、Bolyai（波埃伊，1802～1860）。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關于空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。

既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其它的公理和公設都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，像是一條定理。

歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的兩個同側內角的和小于兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小于兩直角的那一側相交。即：過兩點有且只有一條直線與已知直線平行。

在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設，這很自然引起人們考慮：這條啰里啰唆的公設是否可由其它的公理和公設推出，也就是說，平行公理可能是多余的。

之后的兩千多年，許許多多的人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其它的假設，而這些假設又可以從平行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。

到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。

從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。應該指出，非歐幾何為廣大數學界接受還是經過幾番艱苦斗爭的。首先要證明第五公設的否定并不會導致矛盾，只有這樣才能說新幾何學成立，才能說明第五公設獨立于別的公理公設，這是一個起碼的要求。

當時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解釋，這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。

對于羅巴切夫斯基幾何學，最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米于1869年提出的常負曲率曲面模型，德國數學家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數解釋的單位元圓內部模型。這些模型的確證實了非歐幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創立的橢圓幾何學，另外還可以推廣到高維空間上。

因此，從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何學。盡管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。當然也有少數頑固派，如數理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，不過這已無關大局了。

應當指出，Bolyai的父親是高斯大學的同學，Bolyai沉溺于平行公理，最后與羅巴切夫斯基同時發展出了非歐幾何，并且在1832～1833年發表了研究結果，老Bolyai把兒子的成果寄給老同學高斯，想不到高斯卻回信道：“to praise it would mean to praise myself.（我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。）”早在幾十年前，高斯就已經得到了相同的結果，只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。

非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，并由此產生了希爾伯特的新公理化運動。

三、數學史對數學知識給出了一個整體框架，能使學生對數學有一個整體的認識

數學是一個龐大的領域，在數學王國中旅游，數學史是一個最好的導游。就拿我們現在常用的數字符號系統——阿拉伯數系來說，它的全稱是印度-阿拉伯數系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因為它可能是印度人發明的，又由阿拉伯人傳到西歐的。數系擴充順序為：

（自然數→整數→有理數→無理數→）實數→復數

數學史是學習數學、認識數學的工具。人們要弄清數學概念、數學思想和方法的發展過程，增長對數學的通識，建立數學的整體意識，就必須運用數學史作為補充和指導。特別是，現代數學的體系猶如一棵枝葉繁多的大樹，站在樹下，人無法分清楚其中一片樹葉到底屬于哪一個枝丫，而數學史就像是這棵大樹的脈絡，它的作用就是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒。

四、通過學習數學史還可以端正學生的學習態度，使學生對數學靈感的產生有所了解

柴可夫斯基說：“靈感是這樣一位客人，他不愛拜訪懶惰者。”靈感作為創造過程中思維活動的高潮，產生于長期艱苦的腦力勞動之后，是辛勤勞動的結晶，是長期艱苦努力和創造性思維的結果。如四元數的創始人，三維數與高維數耗費了他十年的時光。1843年10月16日，當他同妻子沿著皇宮邊的護城河散步時，突然有了靈感：把二維復數擴展到四維而不是三維，并放棄了乘法交換律，四維數表示成z=a+ib+jc+kd，其中i =j =k =ijk=-1。再有笛卡爾發現坐標系；阿基米德是在大量計算和實驗而不得其解之后，才受到“浴缸溢水”啟示；牛頓也是在冥思苦想和大量觀察的基礎上才被“蘋果落地”的現象啟發。所以靈感是在大量的創造性勞動之后的一種思維能力的飛躍現象，也是人對某一問題的思考由量變到質變轉化的結果。沒有大量的積累，就不可能有質的轉變。我們平時所從事的各種各樣的思考活動都是為靈感的出現積累能量。僅憑僥幸，是永遠也得不到靈感光顧的。

以上是我對數學史在中學數學教育中的作用的一些看法。要充分發揮數學史的作用，還應該在數學教學的過程過程中自覺滲透歷史發展的觀點，使學生了解知識的發生、發展過程，看清知識成果中的思想和方法。另外，還應該向學生推薦一些適合的數學史書籍供其閱讀，這樣不僅可以增強其對數學的興趣和理解，同時也可以通過數學家們的榜樣示范作用對學生進行教育。

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