數學建模法及應用

數學建模法是一種極其重要的思想方法，它是把實際問題抽象成數學語言符號，構建數學模型，從而解決實際問題。其一般步驟是：分析實際問題→構建數學模型→建立數學關系式→解數學關系式→回歸原實際問題。其關鍵步驟是如何構建數學模型。

數學模型可以是代數方程式、不等式、函數式、極限、集合、排列與組合、幾何圖形等等。數學建模法有重要的應用，且是研究性學習的重要內容，是培養學生創新思維和探究能力的重要途徑。下面通過兩個例題來說明：

例1：某機械廠要把一批長為135厘米的合金鋼截成17厘米和24厘米長兩種規格，問怎樣落料才能使材料利用率最高？

解析：要使材料利用率最高，也就是使落料時廢棄的材料最少，因此截成的兩種規格合金鋼的根數是正整數，落料方案可以建立以下模型：

設截成17厘米和24厘米長的合金鋼分別是x根和y根，則據題意得17x+24y≤135（x，y∈N），即x／7.49+y／5.63≤1（x，y∈N）.

在坐標紙上，建立坐標系，作出直線x／7.49+y／5.63≤1(如左圖)。

然后在坐標系中尋找滿足上述不等式且坐標為正整數的點，同時，要求這些點與所作直線從下方盡可能靠近。

從圖上可以看出，A、B、C三點在直線的下方且與它比較靠近，對于A（2，4），因為2×17+4×24＝130，130/135×100%=96.3%，所以其利用率為96.3%。

對于B(5，2)，因為5×17+2×24=133，133/135×100%=98.5%，所以其利用率為98.5%。

對于C(6，1)，因為6×17+1×24=126，126/135×100%=93.3%，所以其利用率為93.3%。

比較三點可知B點利用率最高，即截成17厘米和24厘米的合金鋼分別為5根和2根時剩下的廢料最少，其利用率最高，該落料方案最佳。

例2：某車間20名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均生產螺釘1500個或螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產的產品剛好配套，應該分配多少名工人生產螺釘和多少名工人生產螺母？

解析：為了使每天生產的產品剛好配套，應使生產的螺母數量恰是螺釘數量的2倍。

設分配X名工人生產螺釘，其余（20－X)名工人生產螺母，根據螺母數量與螺釘數量的關系，列方程2×1500x=2000(20－X)，解得x＝8，生產螺母的人數為20－8＝12（人）。即應分配8名工人生產螺釘，12名工人生產螺母。

（冀州市職教中心）

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