例說因式分解的應用

因式分解是進行整式變形的一種重要方法，在解題中有著廣泛的應用.

一、計算

例1計算：（1）9992－1002×998；

（2）9982+2×1996+4；

(3).

分析：直接計算比較繁，仔細觀察可以發現：（1）1002=1000+2，998=1000－2；（2）2×1996=2×2×998，4=22，因此考慮用因式分解；(3)1993=1995-2，-1996

=-1995-1，可考慮將分子、分母同時分解因式，約去公因式后再計算.

解：（1）原式9992－（1000+2）（1000-2）=9992－（10002－22）=9992－10002+4

=（999+1000）（999-1000）+4=1999×（-1）+4=-1995；

（2）原式=（998+2）2=1000000；

（3）原式==

==.

二、求值

例2已知：x+y=5，xy=－4，求x3y+2x2y2+xy3的值.

分析：直接求x、y的值目前我們還未學到，分別求出x、y的值再代入計算也比較繁，可以考慮將所求式進行因式分解，而后進行整體代換.

解：x3y+2x2y2+xy3=xy（x2+2xy+y2）=xy（x+y）2，所以原式=－4×52=-100.

三、證明

例3已知a、b、c為互不相等的有理數，且（a－c）2－4（a－b）（b－c）＝０，試說明2b=a+c.

分析：要使得2b=a+c，可試說明（2b－a－c）2＝０，即［（a－b）－（b－c）］2＝０，考慮將已知式進行變形.

解：由已知式得：（a－b＋b－c）2－4（a－b）（b－c）＝（a－b）2＋2（a－b）（b－c）＋（b－c）2－4（a－b）

·（b－c）=（a－b）2－2（a－b）（b－c）＋（b－c）2＝０，所以［（a－b）－（b－c）］2＝０，

即（2b－a－c）2＝０，所以2b=a+c.

例4試說明：對于任意不小于2的正整數，2n+4與2n的差必能被30整除.

分析：類似于數被30整除的情形，只需將式子分解出因數30即可.

解：因為2n+4－2n=2n（24－１）＝2n×15=2n-1×30，所以2n+4與2n的差必能被30整除.

四、比較大小

例5已知A＝a＋4，B＝a2－a＋5，C＝a2＋a－5，其中a＞2．

（1）求證：B－A＞0；

（2）指出A與C哪個大？說明理由．

解：(1)B－A＝（a－1）2＞0（因為a＞2），所以B＞A；

（2）C－A＝（a＋3）(a－3) ，因為a＞2，所以a＋3＞0.而當2＜a＜3時，C－A＝（a＋3）

·(a－3)＜0，所以A＞C；當a＝3時，C－A＝（a＋3）(a－3)=0，所以A＝C；當a＞3時，C－A

＝（a＋3）(a－3)＞0，所以A＜C.

說明：判斷一個整式的符號，我們常常將這個整式配方，將整式變形為平方和的形式，或因式分解，將整式轉化為次數較低的因式，這樣便于對符號進行討論.

五、判斷

例6已知a、b、c分別是△ABC的三邊長，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷△ABC的形狀.

分析：可考慮將等式a2c2-b2c2=a4-b4兩邊因式分解，然后確定a、b、c的關系，從而確定△ABC的形狀.

解：因為a2c2-b2c2=a4-b4，

所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2)，

所以c2(a2-b2)－(a2-b2)(a2+b2)=0，

所以(a2-b2)（c2-a2-b2)=0，

所以a2-b2=0或c2-a2-b2=0，

所以a=b或c2=a2+b2，

所以△ABC為等腰或直角三角形.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文