計算機系數學課程教學中的例題探討

摘要：詳細闡述解一階微分方程任意常數C的處理。

關鍵詞：微分方程；任意常數C

中圖分類號：O175文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)05-10916-02

人大第二版經濟應用數學基礎（一）微積分第375頁例1：求解一階微分方程dy/dx=-y/x。方法如下：

解：分離變量得：dy/dy=-dx/x(1)

兩邊積分得：ln y=-ln x+ln C(2)

即xy=C或y=C/x（C為任意常數）(3)

這就是所給微分方程的解。

再看人大第三版經濟應用數學基礎（一）微積分第375頁的例1，同樣是求解dy/dx=-y/x。方法如下：

解：分離變量得：dy/dy=-dx/x(4)

兩邊積分得：ln|y|=-ln|x|+lnC1（C1為任意常數） (5)

即|xy|=eC1或xy=±eC1（C1為任意常數）

其中eC1為任意正常數，去掉絕對值記號，將正負號轉移到常數上，可記C=±eC1。 (6)

下面將第二版微積分中解題方法稱為方法一，第三版中的解題方法稱為方法二。比較發現，方法二對方法一做了適當改進與說明。如第（5）式解決了方法一中第二個不妥之處。但是對于常數C可取任意實數這一問題仍然未討論清晰。方法二中已指出eC1為任意正常數，所以（6）式中的C可取任意正、負常數，但是不能取零。這就與（7）式中標明的C可取任意常數矛盾。

為什么會出現這個情況？問題就出在第一步分離變量的過程，此做法丟掉了一個解y=0 。下面給出正確的解題步驟。

解：分離變量得：dy/dy=-dx/x，此時y≠0

兩邊積分得：ln|y|=-ln|x|+C1 （C1為任意常數）

即|xy|=eC1或xy=±eC1（C1為任意常數）

其中eC1為任意正常數，去掉絕對值記號，將正負號轉移到常數上，可記C2=±eC1。

因此微分方程的通解為xy=C2 （C2為任意非零常數）。(*)

又將y=0代入原方程檢驗，使得方程成立，所以y=0也是方程的解。我們只需在(*)式中取C2=0 即可。由以上可知原方程的通解為xy=C（C為任意常數）。

我們再來看看求解一階線性微分方程xy'=y/(y-1)。

其中e-C1為任意正常數，去掉絕對值記號，將正負號轉移到常數上，可記C2=±e-C1。

因此微分方程的通解為xy=C2ey （C2為任意非零常數）。

又將y=0代入原方程檢驗，使得方程成立，所以y=0也是方程的解。我們只需在上式中取C2=0 即可。由以上可知原方程的通解為xy=Cey（C為任意常數）。

參考文獻:

[1]E.A.Coddington and N.Levinson.Theory of Ordinary Differential Equations，1995.

[2]F.Brauer and J.A.Nohel.Ordinary Differential Equations:A First Course，1973.

[3]東北師大數學系，常微分方程.北京：高教出版社，2005.

[4]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]許松慶，常微分方程穩定性理論[M].上海：上海科技出版社，1962.

[6]周義倉.常微分方程及其應用[M].北京：科學出版社，2004.

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