中考四邊形新題型例析

在新課標教育理念下，一些為考查同學們對知識的把握能力而精心設計的中考題頻頻出現，已成為中考的一大亮點.現就2007年中考試題中有關四邊形的新題型精選幾例，析解如下：

例1 （江西省考題） 如圖1，在正六邊形ABCDEF中，對角線AE與BF相交于點M， 與BD相交于點N．

（1）觀察圖形，寫出圖中兩個不同形狀的特殊四邊形；

（2）選擇（1）中的一個結論加以證明．

分析：這是一道結論開放型試題，特點是條件給定，結論不唯一.解題時要從題設出發，認真分析圖形特征和性質， 正六邊形ABCDEF的各邊相等，每個內角相等且都等于120°，從而得到△ABF、△AEF、△BCD、△CDE等都是等腰三角形，∠BAF=∠AFE=∠BCD=∠CDE=120°，則∠ABF=∠AFB=∠FAE=∠FEA=30°，再經過進一步分析推理可以得到BD⊥AB，EA⊥AB，BF⊥BC，CE⊥BC，BD∥AE，BF∥CE，BM=BN=EN=EM等等.

解：（1）根據已知條件，通過觀察分析，可以得到不同形狀的特殊四邊形有:矩形ABDE，矩形BCEF，或菱形BNEM或直角梯形BDEM，AENB等；

（2）以選擇ABDE是矩形為例，

證明：∵ABCDEF是正六邊形，

∴△ABF、△AEF是等腰三角形， ∠BAF=∠AFE=120°，

∴∠EAF=30°，

∴∠EAB=∠FAB-∠FAE=90°，

同理可證∠ABD=∠BDE=90°，

∴四邊形ABDE是矩形．

例2（青島市考題）將平行四邊形紙片ABCD按如圖2方式折疊，使點C與A重合，點D落到D'處，折痕為EF．

（1）求證：△ABE≌△AD'F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，證明你的結論．

分析：從題設條件和圖形出發，通過動手操作，根據折疊后角度和線段的大小不變.即AE＝EC，∠1＝∠2．再由AD∥BC，則∠2＝∠3．從而∠1＝∠3，得到AE=AF.則有AF=EC.四邊形AECF是平行四邊形，又因為AE=AF，故四邊形AECF是菱形.

解：（1）略；

（2） 四邊形AECF是菱形．

由折疊可知：AE＝EC，∠1＝∠3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC．

∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，

∴ AF＝AE，

∵ AE＝EC，

∴ AF＝EC，

又∵AF∥EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AF＝AE，

∴四邊形AECF是菱形．

例3 (資陽市考題) 如圖3，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點（不與A、C重合），PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F.

（1）求證：BP=DP；

（2）如圖若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP ？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；

（3） 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論 .

分析：這同樣是一道結論探索型試題， 探索是哪兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等.AC為對角線，根據正方形的對稱性，只有選擇B、D分別與E、F連結，才有可能使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等.再從題設條件和圖形出發，根據旋轉后角度和線段的大小不變，即∠BCE=∠DCF，CE=CF分析推理，得出結論.

解：（1）略；

（2）如圖4不是總成立.當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，點P旋轉到BC邊上時，DP >DC>BP，此時BP=DP不成立.

（3）如圖5連接BE、DF，則BE與DF始終相等.

在圖3中，因為點P為正方形ABCD對角線AC上的點，

則∠ACB=∠ACD，又PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，

∴PE=PF，則四邊形PECF為正方形，

∴CE=CF，

在圖5中，在△BEC與△DFC中，BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°-∠BCP，CE=CF，

∴△BEC≌△DFC，

∴BE=DF .

結論開放或探索型試題，大都是條件給定，而結論不確定或答案不唯一的問題，解決這類問題的基本思路是：從題設出發，認真分析圖形特征和性質，根據條件，聯想定理，尋求結論.