城市公交巴士網絡的隨機組織演化機制研究

摘 要：應用復雜網絡方法，深入地研究了公交巴士網絡在地理空間中的隨機組織演化機制，提出了兩個指標：鄰接節點度平均和、鄰接節點間平均連接邊。通過對我國四個城市的公交巴士網絡實證分析，獲得了三個主要結論：（1）網絡節點度分布的尾部服從指數分布；（2）節點間隨機連接；（3）鄰接節點間的連接邊數目與節點度線性正相關。結論（1）和（2）表明城市公交巴士網絡具有隨機組織的演化性質。實證研究結果對公交巴士系統的網絡建模有重要的學術價值。

關鍵詞：城市公交巴士網絡;統計特性;復雜網絡;演化機制

中圖分類號：U113 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2008)02-0068-05

Empirical Research on Urban Ground Bus-transport Networks with Stochastically Organizing

CHEN Yong-zhou， LI Nan， LI Lu

（College of Economics and Management， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing210016， China）

Abstract:In this paper， the empirical structural properties of four urban ground bus-transport networks (abbr. N) in China are studied in the perspective of complex networks. In order to identify the evolution mechanism with random organizing， new parameters of the sum of the nearest neighbor degrees and the sum of the nearest neighbor links are proposed. Three empirical results are obtained: (1)The degree distributions are exponential law with lower head on degree unity; (2)The pairs of vertices of the nearest neighbors have random degree relation; (3)The edges among the nearest neighbor vertices have linear relation with one vertex’s degree. From the results of (1) and (2)， it is suggested that Ns should be organized stochastically. The empirical results provide one framework for more real Ns’ model， which can capture the underlying characters of the public bus transport systems with geographical topology.

Key words:urban ground bus-transport network; statistical property; complex network; evolution mechanism

1 引言

公交巴士系統是城市重要的基礎設施，與城市普通居民的生活息息相關，因此對于城市地面公交巴士網絡（簡寫為 N）的研究一直受到學術界的關注。已有的研究成果主要是從公共交通系統的拓撲結構上進行分析，如von Ferber等在2005年的文章中給出了德國Berlin和Düsseldorf，和法國Paris城市的交通網絡結構的統計特性研究結果^[1]，Sienkiewicz等也對波蘭22個城市的公交巴士網絡結構的性質進行了深入研究^[2]，等等。公交巴士網絡的形成空間本質上是一個二維平面空間，因此有必要從地理空間的視角研究N的拓撲結構；另外，分析N的演化機制的統計特征，這對城市公交巴士網絡的發展規劃和管理有著重要的現實意義。

本研究將公交站點作為網絡節點。根據網絡節點連接關系，描述運輸網絡的方法可分為兩類：P空間（P Space）法和L空間（L Space）^[2，3]法。在P空間下，如果兩個公交站點是在同一條公交線路上，則定義這兩個站點相連；在L空間下，當且僅當兩個站點既是同一條公交線路上的站點，又相鄰，則這兩個站點相連。可見，N的L拓撲結構能夠反映公交巴士系統的地理幾何性質，因此本研究采用L空間法。

局限于地理空間中的N節點特殊：（1）N存在端點，即公交線路的起、止站點；（2）大部分的公交站點是與其它兩個站點相連。這些特殊性使得N的節點間相互作用的演化機制不同于一般的復雜網絡，從而用已經提出的指標來描述N的節點組織作用機制不夠準確，因此在本研究中提出了新的指標。

2 城市公交巴士網絡統計指標定義

通常公交線路在站點間雙向對開，因此可將N視為無向圖；另外N可用鄰接矩陣{aij}來描述網絡的連接關系，可見{aij}為對稱矩陣。當aij＝1表示兩節點i和j（i≠j）相連， aij＝0表示兩節點間沒有連線。在本研究中應用的網絡統計指標有:

其中Γ（i）表示與i節點鄰接的節點集。L空間下節點度體現了公交巴士網絡的物理連接特征，反映了由i直達的公交站數目，是公交站點在連通整個網絡重要性的度量指標。

（2）鄰接節點度協調性Knn(k)^[4，5]與鄰接節點度平均和Dnn(k)。

節點度協調性反映相鄰節點的度值的三種相關關系：①相鄰節點度正相關。節點度k大的節點一般與k也大的節點相連；②相鄰節點度負相關。k大的節點與k小的節點相連；③相鄰節點與k值無關。然而Knn(k)卻不能夠完全反映N節點間隨機連接的關系，因此本研究在Knn(k)的基礎上，提出了一個新指標Dnn(k)。

在給出Knn(k)和Dnn(k) 定義之前，需要先定義兩個輔助指標：鄰接節點度之和和鄰接節點平均度，它們分別由（2）、（3）式確定

其中Nk是網絡中度為k的節點數目。

（3）節點度平均聚集系數C(k)^[4，5]和鄰接節點間平均連接邊L(k)。

C(k)可以度量網絡中局域群體的內聚性程度，反映網絡的傳遞特性。對于無向圖，節點i的聚集系數用Ci^[6]

3 實證研究對象

收集、整理的杭州、南京、北京、上海四個城市的巴士交通網絡統計結果見表1。為避免出現非連通圖，研究中剔除了孤立的線路（及其站點）。

L空間下的N保留了公交系統的基本幾何性質：集聚系數反映了站點附近公交線路的密集程度，網絡直徑給出了任意兩個站點之間最少的站點數目的最大值，網絡的平均最短距離反映的是網絡中任意兩個站點之間的平均公交站點數目。從表1結果可以發現，城市公交巴士網絡具有“小世界現象”^[6]，即大的集聚系數和小的平均最短距離。

每條公交線路連接的公交站點數表示N的線路長度B。通過線路的規劃、設計及管理，使得線路長度B相似；因為一個城市中每一條公交線路不宜過短，否則會增加乘客的中轉；也不宜過長，過長不易準點，對調度管理不利（也降低公交公司的利潤），并且對于遠距離出行，乘客可能會選擇其它方便的交通工具，如地鐵、TAXI等。對B統計結果的散點圖見圖1所示，分布函數假如用(9)式來擬合，則(9)式的擬合參數結果見表2。

4 L空間下公交巴士網絡統計特性

節點度是網絡研究的基本指標，因此我們首先統計N的節點度及其分布。本研究獲得的N節點度分布統計結果見圖2，其中星號連線是原始度分布曲線，而方塊是對原始度分布數據累積的結果，實線是累積分布的擬合直線。從圖中可以看到，度值為1的節點（公交起止站點）非常特殊，對應度分布圖中的彎頭。而其余的部分，可以近似地通過指數函數（10）式來擬合。

從圖2，可以獲得四個結論：

結論1 度值為1的節點對應于公交系統中的起點站和終點站，且明顯地比度值為2的節點數少，這表明絕大多數公交站點至少與另外兩個站點直接相連。

結論2 節點度分布尾部所占比例少，反映網絡中度大的節點所占網絡的總節總量較少，這進一步地反映了網絡中連接許多其它站點的中樞站點（類似位于商業中心、換乘中心等的公交站點）數量較少。

結論3 與抽象連接的網絡相比，N的節點度值小。N的公交線路（公交道路）實際連接與引文、Internet等抽象網絡的連接不同，因此這個結果可以通過L空間下公交巴士網絡是局限于二維平面空間之中來解釋，節點度小是因為平面圖的平均度嚴格小于6^[7]；在L空間下，四個城市的節點平均度見表3中。另外少許站點的度大于6反映公交巴士網絡實際上是在非完全的二維平面空間（如線路上存在橋梁、隧道等）之中，在網絡中存在著公交線路的交叉。

結論4 節點度的概率密度分布函數為指數函數，則理論上節點度的平均值應等于指數的倒數，即=1/v，但是由于實際系統中的分布波動較大，特別是度值較大的節點，另外由于節點度值為1和2的節點非常特殊，從而使得1/v，結果見表3。

城市公交巴士網絡類似于電力網，局限于二維地理空間之中，且網絡的節點度分布都為指數分布函數（例如電站為節點的北美電力網，其節點度分布指數為-0.5^[8]）。這些實證結果顯示公交系統的組織演化機制是特殊的，因為N不能通過類似于道路網絡^[9]，也即傳統的隨機網絡（節點度為泊松分布），以及航空網絡，擇優連接的增長的網絡（節點度為Scale-free分布）來描述，而是增長的隨機連接的網絡（節點度為指數分布）。根據Barabsi和Albert對復雜網絡建模的開創性研究^[10，11] 所揭示的網絡增長機制與節點度分布的關系，本研究提出用隨機生長模型來模擬N網絡的演化過程。

在研究N的節點組織規律中，本文研究了N的節點協調性Knn(k)、節點平均度聚集系數C(k)，統計結果見圖3、4。另外統計了鄰接節點度平均和Dnn(k)與鄰接節點間平均連接邊L(k)兩個指標，結果見圖5，其中方形圖標對應Dnn(k)，上三角對應L(k)，實線為它們的最小二乘擬合線。

本研究提出的鄰接節點度平均和Dnn（k）能夠反映N中節點隨機連接的組織機制，而節點度協調性Knn（k）不能完全體現這一規律。從圖3的結果可知：雖然Knn（k）沒有明顯的全局一致的統計規律，統計結果波動大，但是可以看出，在小節點度下Knn（k）具有一定的正相關關系，即度值相似的節點彼此連接在一起，而在大的節點度下顯示出隨機的特性，也就是連接的節點間，其度值彼此無關。但是在圖5中Dnn（k）統計結果反映了N全部的鄰接節點間度—度無關的關系。Dnn（k）與節點度k之間近似成直線的關系，假定用函數(11)式表示

a×k-b=Dnn(k)（11）

其中參數a，b>0。從關系（11）式，我們可以又得到兩個結論：

結論6 鄰接節點間度—度無關，而Knn(k)不能完全反映網絡的這個隨機組織演化機制。不考慮k<3這些起點站和終點站的特殊性，公交巴士系統中節點度相關關系如果理論上是隨機的，則1/v≈a，本研究的統計結果驗證了這種關系的存在，見表3。因此，Knn(k)不能反映出N中完全隨機的組織特性，而鄰接節點度平均和Dnn(k)∝ak的統計結果表明鄰接節點是與節點度k無關的（節點度反映節點的連接狀況；對N任一邊連接的節點度近似為a，表明了節點連接時是隨機組織的，而與節點度大小無關）。

由圖4可見，在k>3時，節點度平均聚集系數C(k)與度之間一般成負相關關系，即隨著k的增大而減小，表明節點度值小的節點的聚集系數比度值大的節點的聚集系數大，形成一個個群體，而度值大的節點主要作用是連通各個的群體。度和節點度平均聚集系數負相關現象已經在許多現實系統的研究中被發現，如關于Internet的C(k)∝k-0.75［12]；和等級網絡的C(k)∝k-β，并且一般β=1^[13，14]。由于二維空間中的N度值普遍較小，因而不能直接推斷C(k)與k之間存在冪律的函數關系。因此，本研究用圖5中的L(k)對C(k)的潛在規律進行了進一步的挖掘和解釋。

當N的節點度值較大，并且存在k(k-1)d時，則2d[]k(k-1)≈0，因而C(k)整體顯示下降的趨勢，圖4反映了這一特征。從這個特征中可以推斷可能存在C(k)≈2c[]k-1∝k-1這一有趣的結果。

5 結束語

本文用復雜網絡技術實證分析了L 空間下我國四個城市公交巴士網絡拓撲結構和演化規律的統計性質。已有研究認為N的度分布是冪律函數^[2]，本研究通過對原始和累積度分布結果的分析，發現在單對數坐標下，兩者都趨近于直線（見圖2）。因此，本文認為用在度值為1處低頭的指數分布描述公交巴士網絡的節點度分布更切合實際。依據無標度網絡模型^[10，11]中間的結果，建議指數度分布的網絡可以通過增長的隨機連接復雜網絡模型來模擬這種指數度分布的網絡；另外結合公交巴士網絡在地理空間中的局限性進行模擬，可以重現N具有彎低頭的指數分布這一關鍵特征。

城市公交巴士網絡是一種增長的隨機演化網絡，但是現有的統計指標不能完全反映出網絡這種隨機作用下的組織演化機制，本文提出的新指標鄰接節點度平均和Dnn(k)以及鄰接節點間平均連接邊L(k)能夠更準確地描述類似N的完全隨機演化網絡的統計特征和演化的組織機制。

參 考 文 獻：

［1］ Von Ferber C， Holovatch Y， Palchykov V. Scaling in public transport networks［J］. Condensed Matter Physics， 2005，

8(1): 225-234.

［2］Sienkiewicz J， Holyst J A. Statistical analysis of 22 public transport networks in poland［J］. Physical Review E， 2005， 72(4):

046127(1)-046127(11).

［3］Von Ferber C， Holovatch T， Holovatch Y， et al.. Network harness: metropolis public transport ［J］. Physica A， 2007， 380(1): 585-591.

［4］Barthélemy M， Barrat A， Pastor-Satorras R， et al.. Characterization and modeling of weighted networks［J］. Physica A， 2005， 346 (1-2): 34-43.

［5］Barrat A， Barthélemy M， Vespignani A. Modeling the evolution of weighted networks［J］. Physical Review E， 2004， 70(6): 066149(1)-066149(12).

［6］Watts D J， Strogatz S H. Collective dynamics of “small-world” networks［J］. Nature， 1998， 393(6684): 440-442.

［7］West D B. Introduction to graph theory［M］. New Jersey: Prentice Hall， Upper Saddle River， 1996. 246-252.

［8］Albert R， Albert I， Nakarado G L. Structural vulnerability of the North American power grid［J］. Physical Review E， 2004， 69(2): 025103(1)-025103(4). 

［9］Wang X F， Chen G R. Complex networks: small-world， scale-free and beyond［J］. IEEE Circuits and Systems Magazine， 2003， 3(1): 6-20.

［10］ Barabási A L， Albert R， Joeng H. Mean-field theory for scale-free random networks［J］. Physica A， 1999， 272 (1-2): 173-187.

［11］Barabási A L， Albert R. Emergence of scaling in random networks［J］. Science， 1999， 286(5439): 509-512.

［12］Vázquez A， Pastor-Satorras R， Vespignani A. Large-scale topological and dynamical properties of the Internet［J］. Physical Review E， 2002， 65(6): 066130(1)-066130(12).

［13］Ravasz E， Barabási A L. Hierarchical organization in complex networks［J］. Physical Review E， 2003， 67(2): 026112(1)-026112(7).

［14］Szabó G， Alava M， Kertész J. Structural transitions in scale-free networks［J］. Physical Review E， 2003， 67(5): 056102(1)-056102(5).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”