木葉村的“整體思維”盛會

木葉村刮起了一場轟轟

烈烈的學習奧數的颶風，好學生小櫻和佐助很快就如癡如醉地陶醉在了數學的美妙中。

這天，他倆碰到了這樣一道題：55555×666667+44445×666666-155555。小櫻和佐助左思右想，還是沒能找出好的解法，便去問伊魯卡老師了。

巧解計算題

在“一樂”拉面館，小櫻和佐助找到了正在請鳴人吃拉面的伊魯卡老師。

“你們誰記得蘇軾的《題西林壁》?”伊魯卡老師看完題后突然問道，“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。”小櫻和佐助都很熟練地背了出來。伊魯卡老師接著說：“這首詩給我們在數學學習上的啟示是：在解答數學問題時，看到問題的同時還要看到與問題有關的‘一大串’，就是‘整體思危’。剛才你們碰到的題是2004年全國小學數學奧林匹克決賽的一道計算題。我們從整體上觀察算式，不難發現55555與44445相加為10000，666667與666666相差1。所以可以利用乘法分配律這樣巧算：

原式=55555×(666666+1)+44445×666666--155555

=(55555+44445)x666666+55555-155555

=100000x666666+55555—155555

=66666500000。

“什么?什么?”吞完了美味拉面的鳴人終于抽出了時間，他跳起來問。

佐助嘿嘿笑著拍了拍鳴人的肩膀：“兄弟，我們在講‘整體思維’啦!不懂就一邊呆著去吧!”

受了刺激的鳴人，眼中冒出烈烈不服輸的火焰：“我決不放棄!”

伊魯卡老師贊許地看了鳴人一眼接著說：“在做計算題時，若能綜觀整題，從整體上把握題目，恰當地進行整體設未知數，就能靈活巧妙地解題了。”

伊魯卡老師請大家看下面一道題：

若一個六位數1abcde，乘3后，積為abcde1，則原六位數是多少?(注意：不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字)(江蘇省南京市第二屆“興趣杯”少年數學邀請賽預賽題)小櫻馬上將題轉化成豎式來考慮：

然后進行逐步推理分析：3與e相乘個位是1，e必為7；3與d相乘，個位是7-2=5，d只能是5……

佐助仔細想了想，說：“‘abcde’這個五位數連續出現了兩次，我就把它作為一個整體來考慮，設成一個未知數x，根據題意列出一個方程。則原數為100000+x。新數為10x+l。根據題意，則有3(100000+x)=10x+1，解得x=42857。”

而小櫻此時卻還在那里細心推算著呢……

伊魯卡老師笑著說：“佐助的解法是將未知數看作一個整體，從整體上設未知數，列出方程來解答，解法比較簡沽。”

巧解圖形問題

伊魯卡老師說道：“在解有關形體問題時，若能從整體上觀察圖形，同樣也可以靈活而簡潔地解答問題。比如：四個周長為16厘米的長方形拼成一個大長方形(如下圖所示)，求大長方形的周長。”

“哈!這回看我的吧!”鳴人一看到題目，馬上興致勃勃地列出算式：16x4-16：48(厘米)，伊魯卡老師讓佐助來講講：鳴人的解法正確嗎?

佐助不慌不忙，從整體上觀察這個大長方形發現：大長方形的長就是小長方形長的2倍，大長方形的寬就是小長方形寬的2倍。所以，佐助馬上大聲地說：“大長方形的周長是小長方形周長的2倍，是16x2=32(厘米)。”

“佐助說得很對!”伊魯卡老師高興地說，“從整體上觀察圖形，往往可以很快找到解決問題的關鍵。有時候，不僅要做到整體觀察圖形，而且還需對圖形進行合理靈活地轉化。”

伊魯卡老師又出了這樣一道題：

如下圖1，長方形的長是8厘米，寬是5厘米，求陰影部分的面積。(1989年小學數學奧林匹克競賽初賽試題)

伊魯卡老師是這樣分析的：陰影部分是由三個三角形組成的，如果分別求出三個陰影部分三角形的面積，就會束手無策。從整體上看圖，三個三角形的高都是6厘米，而它們的底之和為8厘米，進而對圖形進行轉化，將三個陰影三角形轉化成一個三角形(如圖2)，即S_陰＝S_{直角三角形}。S_陰=S_{直角三角形}=8×5÷2=20(平方厘米)。

“這樣轉化真巧妙!”小櫻和佐助似乎一下子又懂得了許多。“讓我們也米試一題吧!”小櫻和佐助急著要伊魯卡老師出一道題。

“啊……為什么我還是不懂啊!不過，我決不放棄!”鳴人依然信心鼓鼓地面對伊魯卡老師出的題目。

巧解應用題

伊魯卡老師看著大家認真的態度非常高興，笑著說：“在做應用題方面‘整體思維’也有很大的用處呢。”接著伊魯卡老師讓他們看數學課本上的思考題：李林喝了一杯牛奶的1/6，然后加滿水，又喝了一杯的1/3，再倒滿水后，又喝了半杯，又加滿了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多還是水多?

愛出風頭的鳴人一看完題目就嚷開了：“題中問的是牛奶多還是水多，一般就要先知道牛奶有多少，水有多少。”“不錯!”佐助順著鳴人的思路說道：“從整體過程來看，不要管它加不加水，牛奶只是1杯。第一次加水1/6杯，第二次加水1/3杯，第三次加水1/2杯，共加水1/6+1/3+1/2=1(杯)，所以李林喝的牛奶和水同樣多。”

聽了他們兩人的話，伊魯卡老師說：“在應用題解答中，我們也要學會從整體上把握數量關系抓住‘不變量’，進而靈活而合理地解答問題。”接著，伊魯卡老師又給大家出了一道題：六年級數學興趣小組活動時，六年級學生中參加的同學是未參加個數的3/7，后來又有30人參加，這時參加的同學是未參加的人數2/3，六年級一共有學生多少人?

小櫻是這樣思考的：由于“參加的人數”與“未參加的人數”前后都發生了變化，但是從整體上看，六年級學生的總人數是不變的。可以從“參加的人數”前后發生的變化來考慮，“原來參加的人數”是總人數的3/3+7，后來又有30人參加，“這時參加的人數”是總人數的2/2+3。所以“30人”所對應的分率是“2/2+3-3/3+7”因此總人數是：30÷(2/2+3-3/3+7)=300(人)。

佐助馬上說道：“也可以從‘未參加的人數’前后發生的變化來考慮，可以得出：30+(7/3+7-3/2+3)=300(人)。”

伊魯卡老師最后說：“‘整體思維’只是一種做題的思維方式，它可以幫你靈活、巧妙地解出很多題目，但并不是萬能的，你們可以通過做題好好琢磨，總結成自己的知識。”

(江蘇省丹陽市華南實驗學校)