玩轉(zhuǎn)溜溜幣

來自《數(shù)學(xué)大王》2007年第11期上調(diào)皮的題精靈溜溜幣，在新的一年來臨之際到此冒個泡兒。

溜溜幣：有兩枚同樣的1元硬幣，把其中的一枚在桌面上固定不動，再將另一枚硬幣沿著它做無滑動的滾動。當(dāng)它繞著固定硬幣滾動一周后，滾動的這枚硬幣自身轉(zhuǎn)了幾圈?

嗨，溜溜幣!自從上次看到湖北省英山縣實驗二小的程文文同學(xué)筆下你瀟灑的身影，俺就徹夜不眠地思念你，今天終于又見面啦!……(路人甲：貝卡不是很怕這個題精靈嗎?這次是怎么了啊?)

神氣的溜溜幣：上次文文同學(xué)利用驗證度數(shù)的方法求出我自轉(zhuǎn)了2圈。這次你想發(fā)表什么高論呢?

嘿嘿嘿……只見貝卡一陣壞笑，一揮手作出“請”的姿勢，一位美女老師笑盈盈地走了過來。哈哈，原來貝卡是有備而來啊!“滿老師，請您來講吧!”貝卡必恭必敬地說。

笑呵呵的滿老師：我覺得驗證的方法還可以從做無滑動滾動的硬幣的圓心所經(jīng)過的長度去考慮。依照第11期中文文同學(xué)的驗證方法，我們可以做出如下圖形：

從圖中可以看出，當(dāng)硬幣沿正方形的邊滾動時，其圓心所經(jīng)過的長度就是正方形的周長。而正方形是由長度為2πr的線段折成，因此，硬幣圓心所經(jīng)過的長度也應(yīng)為2πr。當(dāng)硬幣在四角滾動時，圓上一點與正方形頂點接觸的點沒有變，但硬幣自轉(zhuǎn)了90°，也就是轉(zhuǎn)了1/4圈，因此，圓心所經(jīng)過的長度為：2πr÷4=0.5πr，滾過四個角經(jīng)過的總長度為：0.5πr×4=2πr。即當(dāng)這枚硬幣繞著固定硬幣滾動一周后，其圓心所經(jīng)過的總長度為4πr，而圓自轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的長度為2πr，因此滾動的這枚硬幣自身轉(zhuǎn)了2圈。

此外，我們還可以直接從兩枚硬幣的位置關(guān)系去考慮。如下圖，固定不動硬幣A，硬幣A的圓心為O₁繞著固定硬幣轉(zhuǎn)動的硬幣B的圓心為O₂則當(dāng)硬幣B圍繞A轉(zhuǎn)動一圈后，圓心O₂所經(jīng)過的長度為2r×π×2=4πr，而硬幣B自轉(zhuǎn)一圈圓心經(jīng)過的長度為21πr，4πr÷2πr=2(圈)，因此滾動的這枚硬幣自身轉(zhuǎn)了2圈。

(江蘇省南京市曉莊學(xué)院附屬小學(xué))