基于多屬性模糊決策的行為投資組合優化模型

摘要：Simon認為經典決策理論的假定過分地嚴格，在實際中往往難以滿足。運用上、下偏矩的方法來估計未來財富不低于渴求水平的概率，并基于多屬性模糊決策方法構建兩個心理帳戶的行為投資組合優化模型。模型中融入了不同質投資者的真實情感、信念及認知狀態，實證分析的結果表明該模型具有很強的實用性和包容性。

關鍵詞：行為金融學；行為投資組合；多屬性模糊決策；模糊流動性；優化模型

中圖分類號：F83059 文獻標識碼：A

Behavioral Portfolio Optimization Model Based onMultiple Attribute Fuzzy Decision-making

FANG Yong，SUN Shao-rong

(College of Management， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China)

Abstract:

Simon believes that traditional decision-making theory is excessively strict and cannot satisfy the factual cases. In this paper， the probability of the event that future wealth is no less than the aspiration level is estimated with the method of upper and lower partial moment， and a behavioral portfolio optimization model of two mental accounts is presented based on multiple attribute fuzzy decision-making. The real emotion， belief and cognitive states of heterogeneous investors are incorporated in the model and the result of empirical analysis indicates proves very practical.

一、引言

投資決策的核心問題是投資者根據自己的偏好在收益與風險之間進行權衡和優化。1952年，Markowitz創立了現代投資組合理論^[1]（modern portfolio theory， MPT），他開創了對風險進行量化的先河，運用證券收益率的方差來刻畫投資風險，并考慮組合中各證券之間的相關性，建立了經典的關于投資組合選擇的均值-方差（mean-variance， MV）分析范式。此后，其他學者相繼提出了各種不同的風險度量指標和準則，如下半方差^[2]、絕對偏差^[3]、下半絕對偏差^[4]、safety-first準則^[5]等，基于這些風險度量指標和準則的投資組合優化模型也相應建立起來，然而這些模型與Markowitz的均值-方差模型一樣都沒有脫離基于理性人假設和有效市場假設（efficient market hypothesis， EMH）的傳統金融理性分析框架。

自20世紀80年代開始，行為金融學（behavioral finance， BF）迅速發展起來，它將心理學的研究成果應用于金融市場，使得傳統金融理論經歷了一場深刻的變革。大量的實證研究^[6-8]表明，作為具有豐富心理活動的真實的人，金融市場中的投資者普遍存在各種認知偏差、情感偏差和意志偏差，因此他們的心理和情感因素在投資決策的過程中起著不可忽視的作用。

Kahneman和Tversky（1979）創立了期望理論^[9]（prospect theory），通過參考點（reference point）、價值函數（value function）和決策權重函數（decision weighting function）這三個重要概念深刻揭示了人們在不確定條件下的決策心理機制。Lopes（1987）提出的SP/A理論^[10]是另一個關于人們在不確定條件下如何決策的心理學理論，其中S代表安全性（security），P代表升值潛力（potential），A代表財富渴求水平（aspiration）。設W表示投資者的未來財富，它有n種自然狀態Wi，i=1，2，…，n，每種自然狀態發生的客觀概率是 pi，i=1，2，…，n。Lopes認為，投資者同時具有恐懼（fear）和希望（hope）這兩種情感。通過恐懼和希望這兩種情感的綜合作用①，投資者最終形成未來財富在各種自然狀態的主觀概率p′i，i=1，2，…，n，并運用這些主觀概率來計算未來期望財富，表示為Eh(W)=∑[DD(]n[]i=1[DD)]p′iwi。SP/A理論的最終優化目標是最大化投資者的效用函數 ，其中P{W≥A}表示未來財富不低于渴求水平的概率。

在上述兩個決策心理理論的基礎上，Shefrin和Statman（2000）創立了行為投資組合理論^[11]（behavioral portfolio theory， BPT），構建了全新的基于投資者實際心理的關于投資組合選擇的行為分析范式。該理論認為，投資者的資產組合具有金字塔狀的分層結構②，每一層都對應著投資者特定的財富渴求水平和風險偏好，底層是投資者為了避免貧窮（與安全性相聯系）而設立的，高層是為了使其富有（與升值潛力相聯系）而設立的，層與層之間的相關性通常被忽略。

雖然Shfrin和Statman所創立的行為投資組合理論實現了從投資組合優化的理性分析范式到行為分析范式的重大轉變，但是該理論只是在或有債權（contingent claim）而非實際證券的基礎上構建了一個嚴密的理論分析框架，在實際應用上存在著很大的障礙，主要表現在以下幾個方面。其一，該理論將未來財富視為一個離散型的隨機變量，對于更一般的連續型的情形，人們又將如何處理呢？其二，在金融理論分析中，通常將投資者的效用確定為某一具體的函數形式，如對數函數、二次函數等，Shefrin和Statman采用Cobb-Douglas生產函數作為效用函數，但人們知道，效用反映的是投資者的心理滿足程度，而要找到一種函數來精確地反映投資者的心理感受顯然是不現實的，那么怎樣才能比較有效地刻畫投資者的效用呢？

在上述兩個問題的驅動下，筆者試圖運用概率論、模糊集理論和多屬性模糊決策理論來構建一個具有很強包容性和實用性的行為投資組合優化模型。

二、未來財富不低于渴求水平的概率的估計

設未來財富表示為一個連續型的隨機變量X，其數學期望和方差分別是μ和σ2，A為投資者對未來財富的渴求水平。在行為投資組合優化過程中，投資者需要計算未來財富不低于渴求水平的概率P{X≥A}。當X的分布未知且不對稱時，需要運用某些概率不等式來估計P{X≥A}的值，其中最常用的方法就是Chebychev不等式。即當A＜μ時，

在實際應用中，將（1）中的概率下界或（2）中的概率上界作為概率P{X≥A}的估計值。然而在大多數情況下，這個下界或上界過松，這就使得投資者在A＞μ時過高估計未來財富達到渴求水平的概率而過于冒險，在A＜μ時過低估計未來財富達到渴求水平的概率而過于保守，最后導致決策失誤。下面通過下偏矩（lower partial moment， LPM）和上偏矩（upper partial moment， UPM）的方法來獲得較（1）和（2）更緊的下界和上界。

定義 設X是一個連續型的隨機變量，其分布函數為F(x)，均值為μ，稱

通過比較（5）、（6）與（1）、（2），可以發現在 的分布不對稱時通過上半方差和下半方差表示的概率上、下界比用方差表示的上、下界要緊。

三、模糊決策算子

1965年，Zadeh^[12]在經典Cantor集理論的基礎上創造性地提出了模糊集的概念，深刻地揭示了自然界中廣泛存在的“亦此亦彼”的現象。在多屬性決策過程中，由于投資者對各種屬性值的效用（滿意度）表現出模糊性，所以模糊集的概念可以用來有效地刻畫投資者的效用。

設X為投資者的策略空間，將其看作論域。B為一個決策屬性，投資者對決策屬性B感到滿意這一模糊事件被表示為論域X上的一個模糊集 ，策略空間中的任意一個策略x∈B對于決策屬性B所達到的滿意度用 對模糊集B的隸屬度μB(x)表示。

1970年，Bellman和Zadeh^[13]進一步提出了多屬性模糊決策理論，該理論將模糊決策看作是各屬性模糊集之間的一種運算，反映了投資者在各種屬性之間的權衡，于是采用何種模糊集運算算子就成為一個關鍵問題。筆者采用最小化算子作為模糊決策算子。

設B1，B2，…，Bn表示n個決策屬性模糊集，最小化算子實際上就是它們之間的交集，其隸屬函數為

四、基于模糊決策的行為投資組合優化模型

（一）決策屬性的確定

不失一般性，設投資者有兩個心理帳戶，心理帳戶1與資產組合金字塔的底層相對應，是投資者為了避免貧窮而設立的，心理帳戶2與資產組合金字塔的高層相對應，是投資者為了使其富有而設立的。投資者忽略這兩個心理帳戶之間的相關性，對它們實行分層管理。

設心理帳戶i(i=1，2)中有ni種資產，資產j(j=1，2，…，n)的收益率用一個連續型的隨機變量來表示，記為Rij，其期望收益率記為rij。心理帳戶i的投資策略為xi=(xi1，xi2，…，xini)，其中xij表示在心理帳戶i中資產j上的投資比例。

多屬性行為投資組合優化模型的第二類決策屬性是兩個心理帳戶中投資組合的收益率不低于渴求水平的概率。設心理帳戶 的收益率渴求水平為ri③，則投資策略xi在這一類決策屬性下的屬性值為

除了上述兩類決策屬性之外，還將證券組合的流動性作為決策屬性納入到行為投資組合優化模型中，因為證券的流動性可以看作是在價值沒有大的損失的情況下證券投資轉換成現金的一種能力，它是投資者特別是機構投資者非常關注的一類指標^[15]。

運用有效流速指標^[16]作為證券流動性的度量，其計算公式為

（二）決策屬性滿意度的確定

用S型隸屬函數來表示投資策略對各決策屬性的滿意度。

投資策略對期望收益率這類決策屬性的隸屬函數表示為

五、實證分析

選擇上海汽車（600104）和中國石化（600028）這兩只價值型個股置于心理帳戶1，選擇中國衛星（600118）和航天機電（600151）這兩只代表朝陽產業的成長型個股置于心理帳戶2。從搜狐網上收集到這四只股票從2002年9月到2006年9月共四年的日收盤價數據，然后計算出這四只股票的48個歷史月收益率。

六、結論

筆者運用上、下偏矩的方法來估計未來財富不低于渴求水平的概率，并基于多屬性模糊決策方法構建了一個兩心理帳戶的行為投資組合優化模型。模型中融入了不同質投資者的真實情感、信念及認知狀態，實證分析的結果表明該模型具有很強的實用性和包容性。

注釋：

① [ZK(#]Lopes通過對恐懼和希望作用的線性加權平均來表示這兩種情感的綜合影響。

② 金字塔的每一層實際上對應著投資者的一個心理帳戶（mental accounting）。

③ 渴求收益率ri是相對于總的投資資金而言的，并且根據投資者資產組合的金字塔分層特性，可以認為r1＜r2。

④ 由于證券的收益率實際并非是正態分布，所以我們用上、下半方差表示的概率上、下界來估計組合收益率達到渴求水平的概率。

⑤ 目前滬深證券交易所的最小價格變動單位是001元。

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