巧妙轉化 靈活應對

數學中一種很重要的思想和很有效的方法就是“轉化你的問題”。數學大師波利亞曾一再指出：“當原問題看來不可解時，人類的高明之處就在于迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個適當的輔助問題”，這就是說，當我們碰到困難的問題時，要善于巧妙轉化，化難為易，化未知為已知，達到靈活求解的目的；當我們碰到困難的問題時，要不斷地變換問題，重新敘述問題，直到最后成功地找到某些有用的東西為止。

一、集合問題向排列組合問題轉化

二、不等式問題向二次函數的實根分布問題轉化

例：已知，若A∪B=A求a的取值范圍

分析：當學生拿到這個問題的時候都馬上會用常規的解不等式x2-2ax+a+20的思路去解決它，但他們馬上就碰到了問題，第二個不等式 是沒有辦法因式分解的，于是有的同學就用求根公式去做，十分麻煩，而且還會碰到他們很不熟悉的根式不等式，所以很少有同學能很完整地做出答案.還有不少同學甚至認為題目是有問題的，于是就放棄了.其實這倒題目如果能轉化為二次函數的實根的分布問題那就容易多了。

三、二次函數問題向最值問題或恒成立問題轉化

例：設函數f(x)=ax2-2x+2

（1）若對于滿足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，求實數a的取值范圍.

（2）若不等式f(x)＞0在1＜x＜4內有解，求實數a的取值范圍.

分析：這個題目其實是非常優秀的，學生在處理的時候往往會比較發愁，有點摸不著頭腦，明明知道是要分類討論，就是討論不全，丟三落四。其實這道題目如果我們在動筆之前能先來考慮一下怎么轉化的話，那將有事半功倍的效果。

轉化方式一： 問題一轉化f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最小值大于0.問題二轉化為f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最大值大于0. 

轉化方式二： 問題一轉化為a＞2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范圍.

問題二轉化為a＞2x-2[]x2在1＜x＜4有解，求a的范圍.

問題二還可以轉化為a2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范圍.

轉化方式一仍有一定的計算量，仍需按對稱軸的位置進行分類討論，需要很細心才能做對做好.與之比較起來，轉化方式二更為優秀，而且計算量很小。

四、函數問題向實根分布問題轉化

我們先判斷出當a＞1時，f-1(x)在(1，+∞)上是增函數，這時做不到f-1(x)在［m，n］上的值域是［g(n)，g(m)］，所以我們只要考慮0＜a＜1的情況求可以了.當0＜a＜1時，f-1(x)在(1，+∞)上是減函數，我們有，由，可得x-1[]x+1=ax，于是上題就轉化為求方程ax2+(a-1)x+1=0有兩個均大于1的根時求a的取值范圍問題.即.經過巧妙的轉化，一道難題就迎刃而解了.

五、導數問題向恒成立問題轉化

例：已知f(x)=x2+c，且f(f(x))=f(x2+1) （1）設g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式.

（2）設φ(x)=g(x)-λf(x)，試問：是否存在實數λ，使φ(x)在(-∞，-1)內為減函數，且在(-1，0)內是增函數.

分析：導數中經常碰到的一類問題是告訴我們單調區間，求參數的范圍問題，遇到這一類問題我們應該把它轉化為恒成立問題，我們就以這個題目為例。

經過求解，我們可以得到g(x)=x4+2x2+2，即φ(x)=x4(2-λ)x2+2-λ.我們可以求得φ′(x)=4x3+2(2-λ)x.①φ(x)在(-∞，-1)內為減函數，可以轉化為φ′(x)0在(-∞，-1)上恒成立，還可以轉化成2(2-λ)-4x2在(-∞，-1)上恒成立，再轉化成求-4x2在(-∞，-1)上的最大值就做出來了，得到λ4。②φ(x)在(-1，0)內是增函數，也可以通過類似的轉化得到。此時λ4.所以最后答案是λ=4。

通過上面的幾個例子我們深刻體會到數學中轉化的重要性.我們在平時的解題教學中，要培養“轉化”意識，對于一些較復雜的問題，不要在“抽象”的迷宮里兜圈子，若改變方向，從新的角度、新的觀點出發重新提出新的問題，亦即對原來的問題進行轉化，使問題輕而易舉地獲解。

（作者單位：浙江紹興魯迅中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。