公平的評卷系統

摘 要：本文針對數學建模競賽這一特殊考試的評判問題，進行了多個數學模型的建立。對評委優化分組問題，確定各組評委名額時，提出了應用新Q值法來解決。在解決評委分配問題時，建立了0—1整數規劃模型，應用匈牙利算法求解。對于試卷的評判采取逐輪淘汰的評判方法，在一定的置信概率下制定了一個淘汰規則，使公平性和經濟性在一定的置信概率下得到保證。

關鍵詞：競賽評判 分配 Q值法

1 評委題組的分配模型

1.1 各題組名額的分配

由于每個題組試卷份數不同，為了使分配公平合理，一個簡單的分配方案就是按試卷份數比例分配［１－４］原則。具體操作如下：

1.2 評委題組的分配

1.2.1 基本假設

(1) 每個參賽隊只能選一題；

(2) 每個評委只能評一個題組的題，不允許跨題組評卷。

1.2.2 模型的建立

模型 (1)是使總的概率指標之和最小；(2)是約束每個評委只能分配到一個題組；(3)是每個題組的人數限制；(4)為變量類型。此模型用匈牙利方法求解。

2 試卷的分配

2.1 問題分析

我們的任務是設計一種擇優方案，滿足兩條原則：

P1 (公正性原則)最終的W份優勝試卷必須包含在“最好的”2W份試卷中。

P2(經濟性原則)每一位評委評閱的試卷越少越好。

在每個評委沒有閱讀所有試卷的情形下，我們不能絕對保證公正性的實現，而只能在一定的置信概率下保證公正性原則的實現。設E=P（W份優勝試卷是最好的試卷），若置信概率L已給定，則我們建模的目標為：

在保證E≥L的條件下，每個評委評閱的試卷盡可能地少。

模型假設

A1. 每個評委獨立進行評閱。

A2. 存在一個所有評委能夠同意地絕對排序。排在最前面地2W份試卷稱為“最好的試卷”。

A3. 評委均具有豐富的評閱經驗，他們對同一份試卷地評閱具有較高的一致性。

2.2 模型建立

(1) 評分規則

等級制是一種較為粗略的打分制，具有一定的可比性，且標準比較容易為評委掌握，故我們采取等級制作為評分方法。分別記為一﹑二﹑三等。

(2) 誤判概率與一致性指標

據假設A2，存在一個對所有試卷的絕對排序。因此當評分規則給定后，每份試卷存在一個能夠得到所有評委同意的“絕對等級”。當一份試卷的評閱等級與其絕對等級不相符時，稱為誤判。現補充兩個假設如下：

A4. 2W份最好的試卷是一等試卷；

A5. 對同一等級的試卷，其誤判概率相同。

(3) 評選過程

整個評選過程分為兩個階段。

第一階段：根據淘汰規則逐輪淘汰。

首先，將P份試卷按照前面的試卷分配結果分配給J個評委。每個評委評閱一組試卷，對每一份試卷給出一個等級。一輪評閱結束后，按照淘汰規則淘汰一部分試卷，然后將第i組試卷中保留下來的試卷傳給第i+1個評委進行下一輪評閱(N0.J+1=N0.1)，如此重復進行直到第J輪評閱結束，此時尚未被淘汰的試卷被稱為“保留試卷”。

第二階段：選擇優勝試卷。

經過第一階段的評閱與篩選，每一份保留試卷均經過所有J個評委的評閱，將每一份保留試卷的J個等級分加權平均，得分最高的W份試卷即為優勝試卷。

2.3 模型的求解

(1) 淘汰規則CRR

一份試卷在評選過程中所處的狀態可以用一個三維向量表示：

(i，j≥0，i+j≤r)

其中i，j，r-i-j分別表示該份試卷被評為一﹑二﹑三等的次數，r表示該份試卷已經過r(0≤r≤J)位評委評閱。

下面制定淘汰規則，其出發點仍是在保證E≥L的條件下使每個評委評閱的試卷盡量少。

以P=100，J=8，W=3為例，其余情形可類似討論。設一份一等試卷經過8輪評閱后被保留下來的概率為q，則據A4，一份最好的試卷被保留下來的概率不會小于q，q的大小與淘汰規則有關。q越大，則公正性原則能夠更好地實現，但工作量將變大。據A1及Bernoulli試驗中成功次數的概率知，至少有W份最好的試卷被保留下來的概率

從而公正性原則在置信概率為0.995的意義下得到了實現。

根據上面推導出的6種保留狀態，得到了以下淘汰規則

R{：“k=2”或“j=4”或“j=3，k=1”}

如果∈R，則淘汰該份試卷。

由淘汰規則及(12)﹑(7)兩式，我們得到E≥0.9987，

即大約有9份試卷得到保留，其中每一份均由所有8個評委評閱過，得到8個等級分，令y 表示評委i給試卷j的評分，n表示保留試卷數目：

綜合得分最高的W份試卷是最好的試卷，取為優勝試卷。

參考文獻：

［1］劉來福，曾文藝.數學模型與數學建模.北京師范大學出版社，1997.

［2］施政，楊輝，曹翰.會議分組的優化.數學的實踐與認識，1998.27，(4)：335-347.

［3］M. A. Ball. Mathematics in the Social and Life Sciences. Ellis Horwood Limited，1995.

［4］張建勛.席位分配問題的數學模型.數學的實踐與認識，2002.32，(4)：54l-548.

［5］岳林.關于Q值法的一種新定義.系統工程，1995.13，(4)：70-72.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”