例談概念教學(xué)中的層次性

摘 要：本文針對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)展開了研究，研究認為層次性教學(xué)有利于讓學(xué)生掌握知識。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 概念 層次性

數(shù)學(xué)概念是進行判斷、推理和建立定理的基礎(chǔ)，清晰的概念是正確思維的前提，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。由于數(shù)學(xué)概念本身的復(fù)雜性、抽象性，理解和掌握時可將其分解為多個層次，先一層一層地認識，理解每層次表達的含義，然后再分析和綜合各層次間的內(nèi)存聯(lián)系，使其形成完整的易于掌握的知識。文章將“理解”進一步分為直接性理解、解釋性理解、推斷性理解、創(chuàng)造性理解四個層次，無疑對我們很有啟發(fā)。

一般說來，理解一個數(shù)學(xué)概念也可為分以下幾個層次：

（1）直接性理解。即對數(shù)學(xué)語言、稱號的表面理解，能用語言準確地表述數(shù)學(xué)概念，能識別概念的語言描述中的錯誤或不妥之處，能直接找出肯定實例或否定的反例等。

（2）解釋性理解。即對數(shù)學(xué)概念內(nèi)存聯(lián)系的理解，能理順概念間的上位、下位、同位關(guān)系，深刻理解要領(lǐng)的內(nèi)涵和外延，能把握概念產(chǎn)生的過程，提示概念間的聯(lián)系等。

（3）推斷性理解。在充分理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，能對有關(guān)數(shù)學(xué)對象作出個人推斷。

（4）創(chuàng)造性理解。能擺脫有關(guān)材料的束縛，對數(shù)學(xué)概念提出創(chuàng)造性的理解。

進行“分層次的概念教學(xué)”能引導(dǎo)和幫助學(xué)生克服思維障礙，推動思維多層面逐步深入地發(fā)展，使知識和能力不斷升華。在概念教學(xué)中，我們可根據(jù)知識結(jié)構(gòu)的繁簡和理解程度的難易，把包含在數(shù)學(xué)概念內(nèi)的復(fù)雜和隱蔽的內(nèi)涵層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學(xué)由表及里、深入清晰地揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，提高學(xué)生的思維素質(zhì)。

一、重要數(shù)學(xué)概念的發(fā)生過程及其層次性

一個數(shù)學(xué)概念的建立和形成，必須通過學(xué)生的親身體驗、主動建構(gòu)。為此，從引進新概念開始就要創(chuàng)造啟發(fā)式的教學(xué)環(huán)境，揭示概念的本質(zhì)屬性，并用簡單的文字加以表述，再對概念進行結(jié)構(gòu)分析和概念的應(yīng)用，形成一個生動的概念發(fā)生的過程。

例1“異面直線”的概念。

教材中定義為“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”。新課伊始若直接給出這種定義，學(xué)生理解難度大。我們在教學(xué)改用與教材定義等價的敘述（更換定義形式）：首先通過觀察實物或模型，引導(dǎo)學(xué)生將空間中既不平行又不相交的兩條直線定義為異面直線（外延定義）；然后根據(jù)公理3的推論2、3，得出a、b為異面直線，通過逐次抽象，最后概括成教材中的定義。這樣，學(xué)生就不會認為難以理解了。

例2“異面直線所成角”的概念。

我們可按以下線索將整個課堂活動分為四個組塊。

組塊Ⅰ：展示概念產(chǎn)生的背景，從進一步研究異面直線的相對位置的需要出發(fā)，揭示異面直線所成角出現(xiàn)的背景，明確新課題研究的必要性，觸發(fā)學(xué)生積極的思維活動的展開。

組塊Ⅱ：創(chuàng)設(shè)得到概念的求知情境。①復(fù)習(xí)平面幾何中如何用數(shù)學(xué)量來刻劃平行直線和相交直線間的相對位置；②從舊知識的復(fù)習(xí)逐漸遷移到對新問題的解決，利用化歸的思想將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題（將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角），從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。

組塊Ⅲ：概念的獲得。①由學(xué)生概括得出新概念——異面直線所成角的定義；②對得到的概念進行解剖，使學(xué)生看到抽象的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號與現(xiàn)實存在的具體事物和現(xiàn)象之間的聯(lián)系，了解整個定義的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性。

組塊Ⅳ：概念的應(yīng)用。在運用中鞏固和深化概念，加深對概念的內(nèi)涵與外延的進一步理解。

二、重視概念理解和掌握過程中的層次性

一個數(shù)學(xué)概念的建立和形成需要一個過程，需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎(chǔ)，各層次之間最好不好越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的，一個數(shù)學(xué)概念的理解和掌握是一個螺旋式上升的過程。

例3對“復(fù)數(shù)的模”的理解。

首先可通過觀察，作出表層認識：

復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)進行關(guān)聯(lián)；

在以上表層理解的基礎(chǔ)上，通過進一步擴展思維，可使理解進入更深的本質(zhì)的層次。

層次Ⅲ（推斷性和創(chuàng)造性理解）；復(fù)數(shù)的模的概念是實數(shù)的絕對值的概念從一維空間到二維空間的推廣。

至此，通過這樣多層次的概念的展開，逐步揭示了“復(fù)數(shù)的模”的本質(zhì)，達到了全面而深入地理解概念之目的。

學(xué)習(xí)概念的重要目的之一是為了應(yīng)用，應(yīng)用的結(jié)果又會加深對概念理解，從而形成一個良好的認知結(jié)構(gòu)。運用概念時，我們在用典型的例子從正面加深對概念的理解、鞏固以外，還針對某些概念的定義中某些關(guān)鍵字眼不易被學(xué)生所理解，或容易被忽視；某些概念的條件比較多，學(xué)生常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區(qū)別；等等來加深學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延的理解。

三、重視概念的系統(tǒng)化、整體化及其層次性的把握

有些概念的理解一般不是一次可以完成的，教師應(yīng)有計劃地使學(xué)生不斷豐富和加深理解。可以通過單元復(fù)習(xí)或階段復(fù)習(xí)的方式使所學(xué)有關(guān)概念系統(tǒng)化和整體化，可用類比啟發(fā)式和歸納啟發(fā)式。

例4關(guān)于“角”的概念的加深與系統(tǒng)化。

（1）平面角：①從一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形（靜態(tài)的定義）；②以一條射線的端點原點旋轉(zhuǎn)所成的圖形（順時針旋轉(zhuǎn)為負角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，不作任何旋轉(zhuǎn)為零角）（動態(tài)的定義）。

（2）異面直線所成的角：在空間任意取一點，分別引兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角叫做兩條異面直線所成的角。

（3）直線與平面所成的角：若直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，規(guī)定它們所成的角為0°；若直線與平面垂直，規(guī)定它們所成的角為90°；平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”