例談數(shù)學知識在物理題解中的應用

摘 要：數(shù)學是物理學研究的工具，更是深入研究問題和解決問題的基礎(chǔ)。目前學生在平時訓練的過程中并不注重數(shù)學知識與物理知識的結(jié)合。本文對此精選幾例，分別從不同的角度闡明數(shù)學知識在物理題解中的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學知識 物理題解 應用

數(shù)學是物理學研究的工具，更是深入研究問題和解決問題的基礎(chǔ)。新課標下物理學科的考試說明對考生應用數(shù)學知識處理物理問題的能力所提出的具體要求是：“學生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進行相關(guān)推理和求解，并根據(jù)計算結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時能靈活運用幾何圖形、圖像或函數(shù)關(guān)系進行表達、分析。”而學生在平時訓練的過程中，恰恰并不注重數(shù)學知識與物理思維的結(jié)合。針對這樣的問題，本文精選幾例，從不同的角度闡明了數(shù)學知識在物理題解中常用的六種方法。如有不足之處，懇請指正。

一、幾何知識的應用

例：路燈距地面高度為h，身高為L的人以速度勻速行走，如圖1所示:①試證明人頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\動。②求人影的長度隨時間的變化率。

解析：（1）設(shè)t=0時刻，人位于路燈的正下方O處，在時刻t，人走到S處，根據(jù)題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂?shù)闹本€與地面的交點 M為t時刻人頭頂影子的位置，如圖2所示 ：

OM為人頭頂影子到O點的距離，由相似三角形知識可得， = ，OM= = ×t。因OM與時間t成正比，故人頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\動。

(2)由圖2可知，在t時刻人影子的長度SM為SM=OM-OS= ×t-vt= ×t，可見影長與時間t成正比，所以影子隨時間的變化率k= 。

點評：平面幾何知識是物理中應用最廣泛的數(shù)學知識之一，它包括對稱點的性質(zhì)、直角三角形中斜邊大于直角邊、三角形全等與相似等知識。本題利用相似三角形對應邊成比例，結(jié)合運動學知識，分析求解，體現(xiàn)了數(shù)理結(jié)合的重要思想。

二、比例關(guān)系的應用

例： 有一天體半徑為地球半徑的2倍，平均密度與地球的相同，在地球表面走時準確的擺鐘移到該天體表面，秒針走一圈的實際時間為多少？

解析： 由于在不同的天體上，重力加速度不同，所以同一擺鐘在不同天體上的周期是不同的。將擺長認為不變，則由萬有引力定律得：mg=GMm/R ，g=GM/R =Gρ( πR )/ R =4πGRρ/3，即g∝R，又因為T∝ ，所以T∝ ，故T /T = = ，即T = 。設(shè)秒針走一圈擺完成n次全振動有 = = ，t = t = min。

點評：本題將具體公式轉(zhuǎn)化為比例式，再利用比例法的傳遞性，直接建立了未知量和已知量之間的關(guān)系。運用比例法可以避免繁瑣的公式變換、計算，進而在計算過程中達到簡便直觀的效果。

三、極值判別式的應用

例：某建筑單位自己設(shè)計了一個提起重物的簡單器械，其中的部分如圖3所示，OA為一均勻鋼管，每米長所受重力為30N；O是轉(zhuǎn)動軸，重物的質(zhì)量m為150kg，掛在距O點1m處的B點，拉力 F作用在A點，豎直向上，為維持平衡，鋼管OA為多長時所用的力最小？這個最小的拉力是多少？

解析：設(shè)OA長為重心l在C點，杠桿重為G′=30l，由杠桿平衡條件得：Fl=mg×OB+G′l/2，即Fl=1500+15l ，15l -Fl+1500=0。這是一個關(guān)于l的一元二次方程，方程有解的條件是△≥0。這時△=F -4×15×1500=F -90000≥0，所以F≥300N。將F的最小值300N代入方程解得鋼管OA此時長為10m。

點評：本題從社會生活汲取實例，建立物理模型，并且綜合運用物理知識和數(shù)學知識，分析求解。體現(xiàn)了新課程標準中“從生活走向物理，從物理走向社會”的理念，意在讓學生理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)其綜合實踐能力。

四、基本不等式的應用

例： 在電視節(jié)目中，我們常看到一種精彩的水上運動——滑水板，如圖4所示，運動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行。設(shè)滑板是光滑的，若運動員與滑板的總質(zhì)量為m=70kg，滑板的總面積為S=0.12m ，水的密度為ρ=10×10 kg/m 。

理論研究表明: 當滑板僅與水平方向的夾角為θ （板前端抬起的角度）時，水對板的作用力大小為N=ρSv sin θ，方向垂直于板面（式中的v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積）。求：為使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度。

解析：選擇滑板與運動員作為研究對象，對其作受力分析，滑板與運動員共受三個力（不計水對滑板的阻力）：重力（mg）豎直向上，水對滑板的彈力（N）與滑板面垂直，繩對人的拉力（F）水平向前。如圖5所示，由物體平衡條件有：Ncosθ-mg=0，又由題中已知條件N=ρSv sin θ，可得牽引速度為v= 。

即：快艇對運動員與滑板的牽引速度是滑板的傾角θ的函數(shù)，所以令y=sin θcosθ，則有y =sin θcos θ= sin θ

即 y = ，故快艇最小速度的表達式為：v = 。代入數(shù)據(jù)得v =3.9m/s。

點評：本題在通過對生活實例進行了簡單的受力分析之后，結(jié)合基本不等式，采用整體代換的思想，考查了學生

運用數(shù)學知識解決物理問題的能力。

五、三角函數(shù)法的應用

例2000年1月20日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi)，若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似取為東經(jīng)98°和北緯α=40°，已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T、地球表面重力加速度g（視為常數(shù)）和光速c。試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需要的時間。（要求用題給出的已知符號表示）

解析：因為同步衛(wèi)星與嘉峪關(guān)的經(jīng)度都為98°，所以同步衛(wèi)星與嘉峪關(guān)在同一個平面內(nèi)，如圖6所示，萬有引力充當向心力，G =mr， r為同步衛(wèi)星的軌道半徑，地面附近的物體有G =mg，r=，根據(jù)余弦定理，L =R +-2Rcosα，L= ，即：t= = 。

點評：關(guān)注高新科技和社會熱點，這是科研測試的一個新動向。本題在要求學生掌握萬有引力章節(jié)基本知識的基礎(chǔ)上，只有抓住三角形的邊角關(guān)系，正確運用余弦定理才能順利解決此類問題。

六、微分思想的應用

例：ab是長為L的均勻帶電細桿，P 、P 是位于ab所在直線上的兩點，位置如圖7所示，ab上產(chǎn)生的靜電場在P 處的場強大小為E ，在P 處的場強大小為E 。求：E 、E 的大小各為多少？

同理如圖10所示，P 處場強的大小E =∫= 。

點評：本題考查了學生靈活運用靜電場的基本知識，分析過程中的關(guān)鍵是選擇適當?shù)奈⒃\用宏觀規(guī)律對微元進行分析處理，最后對所處理的結(jié)果進行積分。

隨著高考改革的深入及素質(zhì)教育的全面發(fā)展，各學科之間的滲透也在不斷加強，這就要求我們在平時的教學過程中，要注重應用數(shù)學知識處理物理問題能力的培養(yǎng)，重視對數(shù)學方法的運用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”