極大無(wú)關(guān)組求法探索

摘要:本文對(duì)極大無(wú)關(guān)組的求法進(jìn)行了初步探索，總結(jié)和推廣了定義法、初等變換法、選錄法等各種方法在求解極大無(wú)關(guān)組時(shí)的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:極大無(wú)關(guān)組；求法；線性表出；線性相關(guān)

極大無(wú)關(guān)組是高等代數(shù)中的一個(gè)非常重要的概念，有的書(shū)籍也稱之為最大無(wú)關(guān)組，只有正確理解極大無(wú)關(guān)組及其相關(guān)概念才能順利地學(xué)習(xí)高等代數(shù)的后續(xù)內(nèi)容。本文現(xiàn)對(duì)極大無(wú)關(guān)組的求法進(jìn)行相關(guān)探索。

1.定義法

(1)根據(jù)定義1求解

極大無(wú)關(guān)組有兩個(gè)等價(jià)的定義，其中第一個(gè)定義為：

定義1：向量組α1，α2，……，αn中含向量個(gè)數(shù)最多的線性無(wú)關(guān)部分組都稱為該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。

例1:設(shè)R3的向量組α1=(1，0，0)， α2=(0，1，0)， α3=(0，3，0)，試用定義求出該向量組的所有極大無(wú)關(guān)組。

解：該向量組共分為7個(gè)部分組：

(1)α1； (2)α2； (3)α3； (4)α1，α2； (5)α1，α3； (6)α2，α3； (7)α1，α2，α3。

因α1、α2、α3為非零向量，故第1，2，3個(gè)部分向量組線性無(wú)關(guān)。又因α1與α2；α1與α3的對(duì)應(yīng)分量不成比例，第4、5個(gè)部分向量組也線性無(wú)關(guān)。而α2，α3對(duì)應(yīng)分量成比例，第6個(gè)部分向量組線性相關(guān)，第7個(gè)部分向量組因含一線性相關(guān)向量組線性相關(guān)。

由此可知，7個(gè)部分組中，前面5個(gè)部分組都是向量組α1，α2，α3的線性無(wú)關(guān)部分組，而第4和第5個(gè)是含向量個(gè)數(shù)最多的線性無(wú)關(guān)部分組，由定義，它們都是該向量組的極大無(wú)關(guān)組。

(2) 根據(jù)定義2求解

極大無(wú)關(guān)組的第2個(gè)定義為：

定義2假定α1，α2，……，αn是某向量組中的n個(gè)向量，如果：(1)α1，α2，……，αn線性無(wú)關(guān)；(2)向量組中任一向量都可由α1，α2，……，αn線性表示，那么，α1，α2，……，αn叫做該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

從定義2中，我們可看出，只有原向量組本身線性無(wú)關(guān)，它才是該向量組唯一的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。一般情況下，向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，如果原向量組中的某部分向量組是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，那么原向量組可能有由不同向量組成的多個(gè)極大無(wú)關(guān)組。各個(gè)極大無(wú)關(guān)組的向量不完全相同，但它們所含的向量個(gè)數(shù)都相等。含有非零向量的向量組都有極大無(wú)關(guān)組。

例2:設(shè)R5的向量組α1=(3，1，2，5)， α2=(1，1，1，2)， α3=(2，0，1，3)，α4=(1，-1，0，1)， α5=(4，2，3，7)。求此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用它表示其余向量。

解：α1，α2線性無(wú)關(guān)，且該向量組的任一向量能表成它們的線性組合：α3=α1－α2，α4=α1－2α2，α5=α1＋α2(*)

由定義2可知，部分組α1，α2是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

事實(shí)上，α1，α2，α3，α4，α5中任意兩個(gè)不同向量均為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。今任取α1，α5兩向量，顯然它們線性無(wú)關(guān)，又由(*)式不難得到α2，α3，α4均可寫(xiě)成α1，α5的線性組合：

α2＝α5-α1，α3＝α1-α2＝α1-(α5-α1)=2α1-α5，α4=α1-2α2＝α1-2(α5-α1)＝3α1-2α5，

故α1，α5也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。同樣可證

α1，α3； α1，α4； α2，α3； α2，α4； α2，α5； α3，α4； α3，α5； α4，α5；

均分別為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

2. 初等變換法

(1) 初等行變換法

引理2.1.1設(shè)矩陣A=(α1，α2，……，αn)經(jīng)有限次初等行變換變?yōu)榫仃嘇1=(η1，η2，……，ηn)，則A的任意k個(gè)列向量與A1中對(duì)應(yīng)的k個(gè)列向量有相同的線性相關(guān)性(因?yàn)槌醯刃凶儞Q不改變列向量之間的線性關(guān)系)，即

(1)當(dāng)且僅當(dāng)A1的k個(gè)列向量ηi1，ηi2，……，ηik線性無(wú)關(guān)時(shí)，A中對(duì)應(yīng)的k個(gè)列向量αi1，αi2，……，αik線性無(wú)關(guān)。

(2)當(dāng)且僅當(dāng)A1的某個(gè)列向量ηs可表為某些列向量ηi，ηj，……，ηr的線性組合ηs=tiηi＋tjηj＋……＋trηr 時(shí)，A中對(duì)應(yīng)列向量αs可表為列向量αi，αj，……，αr的線性組合αs=tiαi＋tjαj＋……＋trαr

根據(jù)引理2.1.1，以所給向量為列向量作矩陣A，對(duì)此矩陣進(jìn)行初等行變換(且只能進(jìn)行初等行變換)，直到能看出初等變換矩陣中列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為止。由引理2.1.1，此極大無(wú)關(guān)組在原向量組中所對(duì)應(yīng)的向量組就是所求的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。為能看出變換矩陣的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，我們常將A化為行階梯形或最簡(jiǎn)形。

例3:設(shè)R5的向量組α1=(2，-1，3，5)，α2=(4，-3，1，3)，α3=(3，-2，3，4)，α4=(4，-1，15，17)，α5=(7，-6，-7，0)，求此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

解：取α1，α2，α3，α4，α5為矩陣的列向量，對(duì)矩陣作初等行變換。

階梯形矩陣中，非零行的首非零元所在的列對(duì)應(yīng)的列向量即為原向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，從而所求的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：α1，α2，α3。

(2) 初等列變換法

引理2.2.1設(shè)矩陣B=(β1，β2，……，βn)’經(jīng)若干次初等列變換變?yōu)榫仃嘊1=(δ1，δ2，……，δn)’，則B的任意k個(gè)行向量與B1中對(duì)應(yīng)的k個(gè)行向量有相同的線性相關(guān)性(因?yàn)槌醯攘凶儞Q不改變行向量之間的線性關(guān)系)，即

①當(dāng)且僅當(dāng)B1的k個(gè)行向量δj1，δj2，……，δjk線性無(wú)關(guān)時(shí)，B中對(duì)應(yīng)的k個(gè)行向量βj1，βj2，……，βjk線性無(wú)關(guān)；

②當(dāng)且僅當(dāng)B1中某個(gè)行向量δs可表為某些行向量δi，δt，……，δr的線性組合：δs=biδi＋btδt＋……＋brδr時(shí)，B中與其對(duì)應(yīng)的行向量βs也可表為行向量βi，βt，……，βr的線性組合：βs=biβi＋btβt＋……＋brβr。

同初等行變換的情況一樣，使用初等列變換求向量組的極大無(wú)關(guān)組是利用引理2.2.1求之。但必須注意的是，求矩陣列向量組的極大無(wú)關(guān)組，用初等行變換，將其化為(0\\*)之形狀，而求矩陣行向量組的極大無(wú)關(guān)組，用初等列變換將其化為(*\\0)之形狀，兩者不可混淆。

例4:求R5的向量組α1=(1，2，1，0)，α2＝(1，1，1，2)，α3＝(3，4，3，4)，α4＝(1，1，2，1)，α5＝(4，5，6，4)的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把該向量組中其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示。

解：用所給向量組做行，構(gòu)成矩陣A，并對(duì)A作初等列變換化為最簡(jiǎn)形

設(shè)該最簡(jiǎn)形的1，2，3，4，5行分別為β1，β2，β3，β4，β5，則可知β1，β2，β4顯然是B的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并且β3=β1＋2β2， β5=β1＋β2＋2β4。

所以，對(duì)應(yīng)地有：α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4，α5的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且α3=α1＋2α2，α5=α1＋α2＋2α4。

3. 選錄法

選錄法也即是逐個(gè)刪去法，在α1，α2，……，αn中，取一個(gè)非零向量作為αi1；取一個(gè)與αi1的對(duì)應(yīng)分量不成比例的向量作為αi2；取一個(gè)不能由αi1，αi2表出的向量作為αi3；繼續(xù)這一步驟，直到選出α1，α2，……αn的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為止。

此方法適合向量組中向量較少的情形。

例5 :求R4的向量組α1=(2，1，3，-1)，α2=(3，-1，2，0)，α3=(4，2，6，-2)，α4=(4，-3，1，1)的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

解：取αi1=α1，再取αi2=α2，顯然αi1與αi2線性無(wú)關(guān)。因?yàn)棣?=2α2，所以αi3不能取α3，又因?yàn)棣?=2α2－α1，所以αi3不能取α4，于是可知α1與α2為其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

4. 利用矩陣的子式求解

以所給向量為行(或列)向量作矩陣A，如果A的某個(gè)r階子式Dr是A的最高階不等于零的子式，則Dr所在的r個(gè)行(或列)向量即是矩陣A的行(或列)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

如何求A的最高階不等于零的子式Dr呢？先求出一個(gè)不等于零的r階子式Dr，如果Dr的所有加邊子式(即包含Dr的子式)全等于零，則Dr即為A的最高階不等于零的子式。

因其加邊子式只一個(gè)D5(它是在D4的基礎(chǔ)上加上A的最后一行，最后一列所得的5階子式)，易驗(yàn)證D5=0，故D4為A的一個(gè)不等于零的最高階子式，D4所在的列向量組α1，α2，α3，α5為A的即為上述向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

在以上各種求法中，一般情況下，常采用初等變換化階梯形或最簡(jiǎn)形矩陣來(lái)求解。當(dāng)向量個(gè)數(shù)較少，便于直接觀察時(shí)，則可使用選錄法或定義法等其他方法。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”