數(shù)學開放題及中學生應變能力培養(yǎng)

開放題是指“那些答案不唯一，開放并在設問的方式上要求學生進行多方位、多角度、多層次探索的數(shù)學題。”開放題又分為條件開放題、結論開放題、條件與結論都開放以及策略開放題等。

一、 開放題可以培養(yǎng)學生的應變能力

1.1 觀察開放題的條件與結論是應變的觸角

例1（2005年上海高考題）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC 則△ABC的形狀一定是（）

(a)等腰直角三角形，(b)直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

解：因為三角形的內(nèi)角和為?仔，由題設有2cosBsinA=sinC，推出2cosBsinA=sinC=sin?仔-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 推出sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0?圯-?仔＜A-B＜?仔?圯A-B=0∴A=B

故(c)是正確的選擇支。

將這一高考題搖身一變，就可以成為第二輪復習考試題例，或例2。基礎差的學生一籌莫展，不知如何下手，這是為什么呢？當然這是中等偏下的學生，優(yōu)等生當然不會這樣。

1.2 比較是應變的重要方法

通過比較， 發(fā)現(xiàn)上面兩題， 后者是前者的條件開放題; 而下面的例3也是條件與策略同時開放的進一步開放題。

二、 聯(lián)想是培養(yǎng)應變能力的橋梁

古希臘哲學家亞里士多德說:“我們的思維是從與正在尋求的事物相類似的事物， 相反的事物， 或者與它相接近的事物開始進行的， 以后， 便追尋與它相關聯(lián)的事物，由此產(chǎn)生聯(lián)想。”聯(lián)想是客觀事物普遍聯(lián)系的規(guī)律和大腦的聯(lián)結功能在心理思維的反映。想象是伴隨著聯(lián)想， 聯(lián)想是想象的初級階段， 而聯(lián)想喚起對公式的回憶， 并觸發(fā)靈感。聯(lián)想分有意聯(lián)想與無意聯(lián)想， 前者是有意志、有目的地聯(lián)想; 后者則相反。它又是以觀察為基礎， 以想象為翅膀， 以記憶為保證， 以思維為核心的重要方法。

例3在△ABC中，若方程x2-xsinAcosB+sinC=0 的二根之和等于二根之積的一半，試判定此三角形的形狀？

分析：這是一個開放題，它還是一個條件開放題，由韋達定理：方程的兩根之和與兩根之積分別為 學生一籌莫展的原因，歸根到底是能力不強，進一步分析是基礎知識掌握不牢，理解能力、應變能力、分析問題能力、解決問題的能力與類比聯(lián)想能力不強所致。

三、 理解能力是學生掌握知識的起點

什么是理解能力呢？所謂理解就是通過思維與想象把感性認識提高到理性認識，除理解數(shù)學概念、公式、法則、定理及其知識體系之外，還要理解解題策略與數(shù)學思想方法。

3.1 觀察與分析是理解的基礎

(a)等腰直角三角形，(b) 直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

用設計提問培養(yǎng)學生的觀察與分析能力：①觀察已知的三角等式，左邊分別是角A、B 的正弦，而右邊是第3個角的一半的余弦的平方，如何化簡才能使其統(tǒng)一？②用什么公式才能達此目的——降冪公式。③什么降冪公式？如何進一步推導？推導的目標是什么？

3.2 抽象與概括是理解的關鍵

知識是對經(jīng)驗的概括，技能是對一系列行為方式的概括，能力則是對思維材料進行加工活動的過程的概括。關于判定三角形的形狀，其條件既可以是三個角的三角函數(shù)的關系，又可以是帶三角函數(shù)系數(shù)的一元二次方程，用韋達定理概括的條件。只有能抽象與概括的知識，才能在應變能力的應用中得心應手。

以上4道題都是從三角函數(shù)入手，用三角函數(shù)的兩角和（或差）的公式來判定三角形的形狀；也可以用正弦定理、余弦定理轉化成邊的關系，從a2=b2?圯a=ba2=b2?圯a=b而證明，從策略開放而得出的抽象與概括是理解的關鍵。

四、 類比聯(lián)想是培養(yǎng)應變能力的翅膀

數(shù)學教師又提出例6例7 ，這是用對偶類比方式，為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維而編造出來的，并且，兩道選擇題，只解一道，讀者證另一道。這也是類比聯(lián)想的結果。所謂類比就是一種相似。它是從一種特殊到另一種特殊的推理。

(a)等腰直角三角形，(b)直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

(a)等腰直角三角形，(b)直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

為了培養(yǎng)學生的觀察、分析、理解和類比聯(lián)想的能力，還可以引導學生一題多解，把三角函數(shù)通過正、余弦定理轉化為邊的關系，再判斷三角形的形狀，讓學生感受到“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。

綜上所述，我們以類比為方法，以聯(lián)想為手段，以探索為方式，得出用開放題來培養(yǎng)中學生發(fā)現(xiàn)、猜想、創(chuàng)新能力的行之有效的方法。正如波利亞說：“得自許多類似情況的類比結論比得自較少情況的類比結論要強。但是這里質量仍然比數(shù)量更為重要，清晰的類比模糊的相似更有價值。”

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。