審題與再審題 反思與再反思

著名美籍匈牙利數學家、教育家Polya的名著《怎樣解題》中的“解題表”風靡全球。該表從普遍性和常識性的角度出發，把問題的解決過程分為四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧問題。作為中學教師，有必要在教學中讓學生養成一個良好的解題習慣。好的解題習慣不僅有助于問題的解決，而且有利于良好思維品質的培養。培養良好思維品質的途徑應該是多方面多角度，而在教學實踐中貫徹“解題表”中的四個步驟，不失為較為有效的方法。在四個步驟中，我們應該重視“弄清問題”和“回顧問題”，“弄清問題”實際上指正確地審題，它往往決定了方法的優劣；而“回顧問題”就意味著多方位地反思該問題，包括檢驗問題、一題多解以及推廣問題，它決定了解題的準確性。

（一） 審題與再審題

正確的審題應該由審題與再審題兩部分組成，培養學生的審題能力更應該讓學生養成“再審題”的解題習慣。學生解題時往往粗枝大葉地看一下條件、結論，然后憑直覺按某一思路做下去，這樣的結果不是舍近求遠，就是誤入歧途。GPolya強調：“回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的。”若學生有“再審題”的習慣，當解題受阻時，再回頭仔細觀察分析題目中條件與結論的內在聯系，從中得到新的啟發與聯想，就不難解決問題了。

1.1 在審題與再審題中挖掘隱含條件

所謂隱含條件，是指題目中含而未露、不易察覺的固有條件。解題時，若忽視對隱含條件的挖掘，很容易使求解過程陷入困境，或是得到錯誤的結論。

分析：按常規思維展開組合式是無法求解的。若能從原始式子中發現組合數存在的意義，即0?蕎22-n?蕎2n，0?蕎5n-25?蕎2n，(n?綴Ｎ），則不難得出n=8，代入原方程可求出x=15或x=2。

1.2 在審題與再審題中確定解題方向

例2在△ABC中，|BC|=8，AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，已知|CD|+|BE|＝15，求△ABC的重心G的軌跡方程，并說明軌跡表示的圖形。

分析：以BC為x軸、BC的中垂線為y軸建立直角坐標系后，設G(x，y)，由C(4，0)，B(-4，0)，重心G分別為CD和BE的定比分點，得：

然后由|CD|+|BE|=15，將D，E的坐標代入，但化簡的過程非常復雜，讓人望而生畏。此時，回頭再審題，發現條件為|CD|+|BE|=15，結論為求點G的軌跡，能否把條件與結論掛上鉤呢？

那么點G到B，C兩定點的距離和為定值10，所以點G的軌跡是以B，C為焦點的一個橢圓，2a=10，5=5;2c=8，c=4，∴b=3因此點G的軌跡方程為：

表示的曲線是以為(-4，0)，(4，0)焦點，長軸長為10，并去掉與x軸的交點的橢圓。

評注：審題與再審題在此題中的體現是對條件“|CD|+|BE|=15”的觀察角度及其處理方法，一開始僅僅把它作為一個等量關系來對待，容易入手但難以走到頭；再次審題時把它作為一個方程來對待，迎刃而解。解題中要對關鍵的條件再三推敲，以期找到解題的方向。

1.3 在審題與再審題中促使知識正遷

解題的過程實際上是一個知識的不斷遷移過程，知識的遷移若是正向的，就能有助于問題的解決。在解題中，正確的審題與再審題，有助于知識的正遷移。

評注：兩種思路，前者從條件直接出發，通過代數運算得出結果；后者從幾何角度重新審視條件，雖然解題步驟相當，但審題角度完全不同。值得注意的是：代數問題幾何化、幾何問題代數化也是我們解決數學問題的重要思想方法，不同知識之間的這兩種方法的實施，很大程度上決定于“審題與再審題”。

（二） 反思與再反思

2.1 通過反思與再反思，檢驗問題

這個結果正確嗎？

說明：此題是2002年蘇州高一的統考試卷上的一個題目，命題者與絕大多數的學生、老師在當時均未意識到此題是一個錯題。但現在想來，這個錯誤應該是不難發覺的。利用基本不等式求最值，等號的是否成立是關鍵，我們應該培養學生這種檢驗與反思的習慣。

2.2 通過反思與再反思，拓展問題

前蘇聯的教育家贊可夫說：“要以知識本身吸引學生學習，使學生感到認識新事物的樂趣，體驗克服困難的喜悅。”教育心理學認為：思維是從提出問題開始的。因此，當一個問題得到解決時，并為學生充分理解后，學生獲得的信息沒有什么不確定性，稱為飽和信息。此時，教師應抓住學生的思維轉折點，將原問題進行檢驗，對已知問題進行一般化、特殊化或逆向思考，拓寬與引申問題，在熟悉的問題中，延伸出新問題，從而激活學生的思維。

通過這一組問題的補充，步步深入，從一般到特殊，使學生對這個特殊的函數有了充分認識與理解。

反思，既是數學教學中的重要環節，又是培養學生創新思維的沃土，數學教師只要細心耕耘這片沃土，就能產生四個“有助于”：一是有助于防止學生思考中的失誤，因為這種失誤是會經常發生的；二是有助于學生在數學思維中不受一解、一法、一式的限制，拓展思路，養成多向思維的習慣，培養思維的靈活性；三是有助于聯想，能把與此有關的知識、方法聯系起來，進而擴大和加強數學知識的聯系網絡，起到舉一反三的作用；四是有助于發現新的方法和技巧，從已知發現未知的數學真理。

解題是中學數學教與學的心臟。Polya強調指出：“中學數學教學首要的任務就是加強解題訓練。”他有一句名言：“掌握數學就是意味著善于解題。”我們要重視在解題過程中發展學生的思維、培養學生的能力、促進學生良好思維品質的構成。所有這些，需要學生具備良好的解題習慣，而審題與反思的習慣，正是學生普遍缺乏但又十分重要的方面。作為一線的中學教師，有必要在教學過程中注重對學生解題習慣的培養和學習習慣的養成教育。

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