淺談化歸思想的應用

顧名思義，化歸可以理解為轉化和歸結的意思。在解決數學問題時，把復雜的、生疏的、抽象的、困難的、未知的問題轉變成簡單的、熟悉的、具體的、容易的、已知的問題來解決，這種思想就是轉化與化歸思想。化歸思想就是把未知問題化歸為已知問題，把復雜問題化歸為簡單問題，把非常規問題化歸為常規問題，從而使很多問題獲得解決的思想。如果有了化歸思想，就能從更深層次上去揭示知識的內部聯系，提高分析問題和解決問題的能力。

化歸通常分等價化歸和非等價化歸。等價化歸要求轉化過程中前因后果時充分必要的，這樣才能保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價化歸其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如分式方程轉化整式方程求解要驗根）。

從某種意義上說，數學題的求解都是應用已知條件對問題進行一連串恰當轉化，進而達到解題目的的一個探索過程。

一、 將不熟悉的、難解的、復雜的問題化歸為熟知、易解、簡單的問題

例1求函數y=sinx·cosx+sinx+cosx的最值。

分析：研究整個解析式間三角函數的聯系，會發現：令t=sinx+cosx后，可對解析式進行換元，把問題化歸為定義在指定區間上關于t的二次函數的最值問題。

通過代換，將求三角函數最值問題，轉化為大家較為熟悉的二次函數條件最值問題，實現了數與數之間的轉化。把不熟悉的問題化歸為熟悉的問題來求解。

例2在連接正方體8個頂點的棱、面對角線、體對角線中，共有多少對異面直線？

分析：通過平時知識的積累，注意到一個三棱錐對應著3對異面直線，把問題轉化為計算正方體的頂點能組成多少個三棱錐。

通過不同數學概念之間的轉化，把難解的問題轉化為易解的問題來求解。

二、 將實際問題化歸為數學問題

例某工廠每年需要用某種電子元件5000個組裝整機，這種元件每次不論進貨多少個都要付手續費400元，進廠后每個元件存放一年的保管費是2元。如果所需元件一次進貨，則只需付一次手續費，但保管費則需較高費用；如果分多次進貨，則手續費增多，但可以節省保管費。假定每次進貨的元件個數相等，為盡量減少手續費和保管費的總支出，那么該廠每年進貨次數是幾次時總支出最少？（不計購買元件的其他費用）

分析：把實際問題轉化為數學問題，利用次數n建立目標函數，轉化為求函數最值的問題

∴一年進貨5次的總支出最少。

凡涉及成本最低、利潤最大等應用問題的題目，可考慮建立目標函數，轉化為求函數最值的問題來求解。

三、 將抽象問題轉化為具體直觀的問題

例某人射擊7槍，擊中5槍，問擊中與未擊中的不同順序情況有多少種？

分析：設擊中用“1”表示，未擊中用“0”表示，則問題可具體地轉化下列問題，數列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中有5項是1，兩項是0，不同數列有多少個？

通過合理假設，把射擊中擊中與不擊中的不同情況的問題具體地轉化為數學中的組合問題，這樣就把抽象問題具體化了。

四、將一般性的問題化歸為直觀特殊性的問題

∴f(x)是以4a為周期的周期函數。

通過特殊事例的具體考證，概括出問題具體的一般屬性，把一般性的問題化歸為特殊性的問題來求解。

化歸是分析問題、解決數學問題的精髓。它遵循的原則是簡化原則，即若把A問題轉化為B問題，則B問題必須比A問題要簡單。在解決問題的過程中，轉化是勢在必行，它提升了學科內的各種分支間知識的綜合運用。可以看出，幾何向代數的轉化、換元后數與數的轉化等，是數學各分支之間的轉化?；瘹w要注意數學分支之間的思維方式的轉化，這樣能優化解題思路。數與形的轉化、函數、方程、不等式問題的轉化、把一個命題轉化成另一個且等價命題的命題轉化等，都是思維方式轉化的具體體現。

在數學學習中，強化轉化與化歸這一辯證思維，既可開闊我們的解題視野，又可使我們了解到：不同的數學內容，有著相同的思維方式。它不僅使我們認識到數與數、形與形各自之間的內在聯系，而且使我們認識到數與形之間的聯系與區別。這對培養我們敏銳的觀察力和創造性的思維能力有著極大的幫助。熟練、恰當地轉化與化歸可以迅速準確地解決問題；靈活地轉化與化歸可以優化解題方法，提高解題速度。所以，在數學學習中，加強轉化與化歸意識的教學，對提高學生的解題能力，培養學生的數學素養是十分必要的。

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