收入－消費關(guān)系分析

[摘要] 本文給出了收入與消費關(guān)系的線性模型，并在高斯－馬爾可夫假設(shè)下對未知參數(shù)進行了最小二乘估計，得出了表明它們之間關(guān)系的回歸方程，實例說明，效果良好。并進一步論證了最小二乘解的性質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 收入與消費 高斯－馬爾可夫假設(shè) 回歸方程 最小二乘法 估計量

一、引言

消費是經(jīng)濟活動的終點，一切經(jīng)濟活動的目的就是為了滿足人們不斷增長的消費需求。但另一方面，消費又是經(jīng)濟活動的起點，是拉動經(jīng)濟增長的動力。正因為如此，關(guān)于消費行為的研究，即消費理論，一直受到人們的高度重視，出現(xiàn)了各種消費理論，也產(chǎn)生了各種消費函數(shù)模型。根據(jù)凱恩斯的絕對收入假設(shè)消費理論，認(rèn)為消費是由收入唯一決定的，是收入的線性函數(shù)。隨著收入的增加，一般也消費增加。它的數(shù)學(xué)描述為:

其中， 為消費， 為收入。在這里，用一個線性方程描述消費與收入之間的關(guān)系.在該方程中，認(rèn)為消費與收入之間的關(guān)系是準(zhǔn)確實現(xiàn)的，即給定一個收入值，可以根據(jù)方程得到一個唯一確定的消費值。但是，在實際上消費與收入之間的關(guān)系并不是準(zhǔn)確實現(xiàn)的。這是由下列因素決定的:消費除了受到收入的影響之外，還受到其他眾多因素的影響，諸如消費者所處群體的平均收入水平、消費習(xí)慣、消費心理、對未來收入的期望等，盡管這些因素對消費的影響不是主要的，甚至是很微小的，但確是客觀存在的。 線性關(guān)系的近似性，即所假定的線性關(guān)系并不是嚴(yán)格的;收入數(shù)值得近似性，即所給定的收入數(shù)據(jù)本身并不絕對準(zhǔn)確地反映收入水平；等等。由于上述的個個因素對消費的影響是微小的，而且各自對消費的影響我們可以認(rèn)為是互不影響的，即是獨立的。我們把所有這些因素對消費影響的作用和看作一個變量，這個變量是隨機變量。概率論認(rèn)為，一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響，那么這個變量一般是一個正態(tài)變量。于是消費便可以用下面的更精確的方程來表示:

這里 是非隨機可精確觀察的， 是均值為零的符合正態(tài)分布的隨機變量，叫做隨機誤差，是不可精確觀察的，從而導(dǎo)致 也是隨機變量。

二、收入與消費關(guān)系的回歸方程

在方程(2)中，顯然條件數(shù)學(xué)期望是的函數(shù)，記為，稱為對的回歸函數(shù)，而稱為對的回歸方程，也叫做經(jīng)驗方程。我們假設(shè)，即。為了估計未知參數(shù)，對與同時作n次獨立觀察，得n組觀察數(shù)據(jù)∧，，它們滿足都關(guān)系式：

其中，，∧，是相互獨立且與具有相同分布的n個隨機變量，令

那么∧，又，，∧，是相互獨立的，那么是互不相關(guān)的，從而協(xié)方差矩陣，則(3)可改寫為

X稱為回歸設(shè)計， 是滿足：

(4)的n維隨機列變量，其中是未知參數(shù)，∧為n階單位矩陣，即對隨機誤差，，∧，作無偏、等方差與互不相關(guān)的假設(shè)。稱(4)為Gauss-Markov假設(shè)。

也稱

為Gauss-Markov線性模型。下面所考慮的問題是給出的估計，從而建立變量關(guān)于的回歸方程。我們使用最小二乘法求解的估計量。

定理Gauss-Markov線性模型其中未知參數(shù)的最小二乘估計量為。是正規(guī)方程組=的解，是由最小二乘法得到的的估計量。這里我們假設(shè)||≠0，從而是正定矩陣。

為了敘述的方便，下面我們引進幾個記號。令

令稱為相關(guān)系數(shù)，|r|≤1r是衡量與之間線性程度的一種度量。|r|越接近1，與之間線性關(guān)系越顯著。

事實上，參數(shù)的最小二乘估計量具有很好的統(tǒng)計性質(zhì)。

性質(zhì)1是的線性函數(shù)。在統(tǒng)計中，如果統(tǒng)計量是子樣的線性函數(shù)，則稱它為線性估計，這里是的線性估計。

性質(zhì)2是的無偏估計。這樣，，分別是總體參數(shù)，的無偏估計。因為。無偏估計是我們對估計量的一個最基本的一個要求。

性質(zhì)3是的最小方差線性無偏估計。有效性是估計量的一個比較好的性質(zhì)。

三、應(yīng)用舉例

對于家庭收入影響消費的問題，如果通過調(diào)查得到一組數(shù)據(jù)，列表如下：

中國消費數(shù)據(jù)表 單位:億元

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，作出了反映被解釋變量消費和解釋變量收入之間關(guān)系的散點圖，從散點圖可以清楚地看到消費和收入之間存在著很直接的線性關(guān)系，而且是正的線性關(guān)系。擬合效果比較符合實際情況。

且有=3643.3 =0.4450

所以樣本回歸方程為=3643.3+0.4450。

參考文獻：

[1]魏宗舒:概率論與數(shù)理統(tǒng)計，高教出版社，1982

[2]李子奈:計量經(jīng)濟學(xué)，高教出版社，2000

[3]復(fù)旦大學(xué)編，數(shù)理統(tǒng)計，人民教育出版社，1979

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。