最優化在經濟中的應用

[摘要] 本文介紹了無約束最優化和約束最優化在經濟中的應用。

[關鍵詞] 無約束最優化 約束最優化 目標函數 數學模型

隨著現代科學技術的迅速發展，在科學技術、經濟管理等各個領域，都提出了大量的最優化問題，這些問題有相當一部分可以歸結為一元或多元函數的極值問題。例如：在安排生產計劃方面，如何在現有人力物力的條件下，合理安排幾種產品的生產，使總產值最高或總利潤最大。同樣地，在現有的生產條件下，如何安排多種產品的生產，才能使總成本最小。當今，“優化”無疑是一個熱門名詞。在人們的日常生活中，優化的要求比比皆是，消費時，如何花盡可能少的錢辦盡可能多的事，出行時，如何用最短的路程到達目的地等等。總而言之，經濟如此發展，競爭如此激烈，資源日漸緊張的今天，人們做事都盼望事半功倍，以求提高效率、增加效益、節約能源等等。所有類似的這種課題統稱為最優化問題，研究解決這些問題的科學稱為最優化理論和方法。

從數學角度看，最優化問題可以分為無約束最優化和約束最優化。所謂無約束最優化問題是比較簡單的微分問題，可用微分求解。

管理決策問題往往也就是最優化問題，而比較常用和方便的方法就是邊際分析法。所謂“無約束”，即產品產量、資源投入量、價格和廣告費的支出等都不受限制。在這種情況下，最優化的原則是：邊際收入等于邊際成本，也就是邊際利潤為零時，利潤最大，此時的業務量為最優業務量。管理決策中的諸多最優化問題，比如投入要素之間如何組合才能使成本最低；企業的產量多大，才能實現利潤最大，當因變量為自變量的連續函數時，經濟學與數學意義是統一的，可用邊際分析法解決；而在處理離散數列的最優化問題時則可以用統計的方法先將離散數列擬合成連續函數，求得最優點，然后在原離散數列中找到離擬合曲線最優點最近的前后兩點，比較其值及其投入量，既而求得最優點。

有約束條件的最優化包括一個或幾個貨幣、時間、生產能力或其他方面的限制，當存在不等式約束條件時，可以采用線性規劃。大多數情況下，管理者知道某些約束是連在一起的，即它們是同樣的約束條件，可以采用拉格朗日乘數法解決這些問題。

從數學上比較一般的觀點來看，所謂最優化問題可以概括為一種數學模型：結合一個函數F(x)以及自變量 應滿足一定的條件，求X為怎樣的值時，F(x)取得其最大值或最小值。通常，稱F(x)為目標函數，X應滿足的條件為約束條件。求目標函數F(x)在約束條件X下的最大值或最小值問題，就是一般最優問題的數學模型，可以用數學符號簡潔地表示為MinF(x)或MaxF(x)。解決最優化問題地關鍵步驟是如何把實際問題，抽象成數學模型，也就是構造出目標函數與約束條件，一旦這一步完成，對于簡單問題，可借助圖形或微積分來解決，遇到比較復雜地課題，可利用現有地數學軟件或最優化軟件，比如Matlab， Mathematica， Lindo， Lingo等來計算。下面舉例說明如何計算有約束條件地最優化問題。

例設某種產品的產量是勞動力x和原料y(t)的函數，f(x)，y=60X3y2，假定每單位勞動力費用100元，每單位原料費用200元，現有2萬元資金用于生產，為了得到最多的產品，應如何安排勞動力和原料。

解：依題意，可歸結為求函數f(x，y)=60x3y2在約束條件100x+200y=20000下的最大值，故可用拉格朗日乘數法求解。

作拉格朗日函數:

由一階條件和約束條件得到方程組

解此方程組得到可能極值點(120，40)。

再判斷(120，40)是否為極值點，寫出關于F的黑塞加邊行列式為

在點(120，40)處黑塞加邊行列式為：

所以點(120，40)為極大值點，且實際問題的最大值是存在的，因此極大值點也是函數f(x，y)的最大值點，最大值為f(120，40)=60×1203×402=1.65888×1011(t)。即應用勞動力120人，原料40t可使產品的產量達到最大值。

參考文獻：

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