導數與積分在經濟分析中的應用

[摘要] 隨著市場經濟的不斷發展，利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，而導數、積分等高等數學知識，都是經濟分析中的重要工具。運用導數和積分等知識，可以對經濟活動中的實際問題進行量化分析，從而為企業經營者科學決策提供依據，本文著重討論導數、積分等數學概念在經濟分析中的簡單應用。

[關鍵詞] 經濟分析數學應用導數積分

一、導數在經濟分析中的應用

導數是函數關于自變量的變化率，在經濟工作中，也存在變化率的問題，著名的邊際分析就是用求函數導數的方法，解決邊際變化問題的。在經濟學中，如果某經濟指標與影響指標的因素之間成立函數關系，那么稱導數為的邊際函數。

1.邊際分析。在經濟分析中，習慣用“平均”和“邊際”兩個概念來描述一個經濟變量對于另一個經濟變量的變化情況。平均的概念表示在自變量的某一個范圍內的變化情況;邊際概念涉及的某一值的“邊緣上”的變化情況。顯然，平均值隨著的取值范圍不同而不同，邊際概念表示當的改變量趨于0時，的相應改變量與的比值的變化，即當在某一給定值附近有微小變化時，的瞬時變化率。在日常經濟活動中涉及的邊際變化有：邊際成本、邊際收益、邊際利潤等。

(1)邊際成本分析。若生產某種產品q單位時所需要的總成本函數可導，則邊際成本定義為。邊際成本是總成本函數關于產量q的導數。其經濟含義是：當產量為q時，再生產一個單位(即=1)所增加的總成本，因此，邊際成本近似地表示為。假設某種產品成本函數C=（C為總成本，q為產量），其變化率=即稱為邊際成本，(q0)稱為當產量為q0時的邊際成本。西方經濟學家對它的解釋是:當產量達到q0時，生產q0前最后一個單位產品所增添的成本。

(2)邊際收益分析。邊際收益與邊際成本類似，其定義為=，即邊際收益是總收益函數關于銷售量的導數。其經濟含義是:當銷售量為時，再銷售一個單位（即=1）所增加的總收益△。

假如已知某企業某種產品的收益R(元)是銷售量q(噸)的函數，，現欲知生產50噸該產品時的邊際收益，那么，邊際收益為，當=50時，。

其經濟含義是:當銷售量為50噸時，再銷售一噸(即=1)所增加的總收益為199元。

(3)邊際利潤分析。邊際利潤與邊際成本類似，其定義為總利潤函數關于銷售量q的導數，即。其經濟含義是：當銷售量為q時，再銷售一個單位（即=1）所增加的利潤△L。

這里需要強調:邊際利潤與利潤是不同的概念，即邊際利潤小于零，它意味著:當銷售量為q時，如再銷售一個單位(即=1)，則總利潤將減少；此時，企業可能是虧損，也可能是盈利，即總利潤減少不一定是虧損。而即利潤小于零，則意味著：當銷售量為q時企業是虧損的。

2.需求價格彈性分析。函數在點處的相對改變量與自變量的相對改變量之商的極限，稱為函數在點處的彈性。彈性概念在經濟分析中應用非常廣泛。

經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱作需求彈性，也稱其為需求的價格彈性。需求彈性是刻畫當商品價格變動時需求變動的強弱。由于需求函數Q=Q為價格的單調減少函數，與 異號，p，q均為正數，于是皆為負數。為了將需求彈性表示為正數，于是采用需求函數相對變化率的反號數來定義需求彈性。

設某種商品的市場需求量為q，價格為p，需求函數Q=Q可導，則稱為該商品的價格需求彈性。其經濟含義是:當某種商品的價格上漲1％，需求則減少1％；價格下跌1％，需求則增加1％。

例如某商品需求函數為，為了說明價格與需求變動的關系，第一要解決的問題是求需求彈性函數；第二根據價格的不同，分別求出p=3，p=5，p=6時的需求彈性。解決的辦法是：

第一，利用需求彈性定義，則；

第二，當p=3時，，。

其經濟含義是：

(1)=1，說明當p=5時，價格與需求變動的幅度相同，即當 p=5時，價格上漲1%，需求則減少1%；價格下跌1%，需求則增加1%。

(2)=0.6<1，說明當p=3時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，即p=3時，價格上漲1％，需求只減少0.6％。

(3)=1.2>1.說明當p=6時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，即p=6時，價格上漲1％，需求減少1.2％。

在市場經濟中，企業經營者應充分了解所經營商品的需求價格彈性，正確把握商品的價格。這樣既可以在激烈的市場競爭中立于不敗之地，又可以為企業帶來一定的經濟效益。

二、積分在經濟分析中的應用

在高等數學中，求積分與求導數或微分是互為逆運算。不定積分是求全體原函數，定積分是求和式的極限。積分在經濟分析中也有廣泛的應用。經濟活動分析中，經常會遇到已知函數的導數或微分，求這個函數或求總量的問題，例如利用積分可以解決最值及資金流量的現值問題。

1.最值。在經濟應用中，求平均成本最低或利潤最大等都是最值問題。如已知邊際成本，求產量為q時的總成本函數，即求原函數的問題，也就是求的不定積分（C0為固定成本）；由邊際成本求產量由a增加到b時總成本的增量，就是求定積分。

同樣道理：已知邊際收益，求銷售量為q時的總收益函數，即求原函數的問題，也就是求的不定積分，總收益，當銷售量q=0時，總收益為零，從而積分中的常數為零，所以總收益函數為;由邊際收益求產量由a增加到b時總收益的增量，就是求定積分。

同理:由邊際利潤，求總利潤，是求不定積分；求由a到b利潤的增量是求定積分。

2.資金流量的現值。如果某項投資的收益分若干期（通常是以一年為周期），那么每期期末的收益會有所不同。這種每期期末的收益就稱為“資金流量”（或“收益流量”）。假設各期的收益流量分別為R1，R2…，Rn，那么對于第i期期末資金流量Ri，其現值Pr0是多少？亦即未來的收益現在值多少錢？假設利率為r，可得到如下結論：

(1)在離散情況下，第i期期末的收益流量Ri的現值為，全部n期的收益流量的現值應為和式i;

(2)在連續情況下，資金流量是時間t的函數。若t以年為單位，則第t年的資金流量為，在很短的時間間隔[t，t+dt]內的資金流量的近似值是dt，利率為r，其現值應為;到n年年末資金流量總和的現值就是t從0到n的定積分，即。應特別指出，當每年的收益流量不變時（記為常數Ａ），則。

在實際經濟活動中，假設連續收益流量每年為a元，持續5年，且年利率為r，問其現值是多少？這樣的問題可以用公式求得由0到5的定積分，如此便可以求得現值。

綜上所述，對企業經營者來說，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。

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