關(guān)于市場競爭問題的數(shù)學(xué)模型

某個(gè)產(chǎn)品市場，由A公司壟斷，現(xiàn)在B公司已具備了開發(fā)能力，其可變成本20萬元，比A公司高20%，并且已經(jīng)發(fā)布消息，問：以B公司的條件是否能參與市場競爭？

一、模型的建立與求解

1.采購與存儲。只考慮倉庫之庫存產(chǎn)品的簡單情形：符號說明：k：表示生產(chǎn)線運(yùn)行時(shí)商品的生產(chǎn)速率。 r:表示商品的銷售速率(r

問題即為：確定周期T，使單位時(shí)間總費(fèi)用最小。由以上分析可知：單位時(shí)間成本為:b/T

單位時(shí)間庫存費(fèi)為：

由一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)的商品等與銷售的商品得:kt=rt

則單位時(shí)間總費(fèi)用為:

即表明：最優(yōu)周期與生產(chǎn)成本的平方根成正比，與存儲費(fèi)用的平方根成反比。單位時(shí)間總費(fèi)用與生產(chǎn)成本和存儲費(fèi)用的平方根成正比。

2.倉庫處存放產(chǎn)品外還存放原料:設(shè)一個(gè)周期生產(chǎn)所需原料一次備足，即t=0時(shí)，倉庫要存放能生產(chǎn)kt件商品的原料。設(shè)為單位時(shí)間內(nèi)單位原料的存儲費(fèi)用。由于生產(chǎn)速率為常數(shù)，則原料線性遞減，t時(shí)刻時(shí)原料用完，生產(chǎn)停止。如圖:

由圖，單位時(shí)間原料存放費(fèi)為，

此時(shí)，單位時(shí)間總費(fèi)用為：

顯然，該結(jié)果與第一步的結(jié)果形式相同，只是存儲費(fèi)部分加上了原料的存儲費(fèi)用，使得總費(fèi)用增加。同理，也可得出與第一步相同的結(jié)論：生產(chǎn)成本與產(chǎn)品和原料存儲費(fèi)用的比值在一定條件、一定范圍內(nèi)越大越好。

3.采購原料的最佳時(shí)機(jī)及一次采購數(shù)量:符號說明:a0:一次采購的手續(xù)費(fèi)。b0:單位數(shù)量的原料價(jià)格。T0:原料的采購周期。在這一步中，假設(shè)原料不許缺貨，一旦短缺立即訂貨，且瞬時(shí)到貨。與第二步的分析同理，共采購能生產(chǎn)kt｀件商品的原料，生產(chǎn)過程中原料數(shù)量呈線性遞減，在t`時(shí)刻原料用完，生產(chǎn)停止。如圖:

由假設(shè)條件，單位時(shí)間原料存放費(fèi)為，其中:

由一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)的商品等于銷售的商品得:，則：代入表達(dá)式，有:

單位時(shí)間原料費(fèi)用（包括采購費(fèi)和存儲費(fèi)）為：

將（9）、（10）式代入（8）式得單位時(shí)間原料的平均費(fèi)用：

4.確定產(chǎn)品的最優(yōu)價(jià)格及最優(yōu)產(chǎn)量。由前三步的討論結(jié)果，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)：

產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)量:

原料和產(chǎn)品的存儲費(fèi);

原料的采購費(fèi);

產(chǎn)品的生產(chǎn)線成本:

每件產(chǎn)品單位時(shí)間的平均成本：

另外，前期宣傳費(fèi)用(每月按30天計(jì))為:

得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖及擬合后的曲線和擬合曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如圖:

取曲線方程的近似表達(dá)式，得銷售量x與售價(jià)p的關(guān)系：

公司所得利潤為其銷售收入與生產(chǎn)成本之差，一個(gè)生產(chǎn)

周期[0，T`min]內(nèi)總利潤:

其中w為平均每天的宣傳費(fèi)用:

售價(jià)p是時(shí)間t的函數(shù)，設(shè)為p(t)，則上式為:

易知有約束條件:

問題即為：由方程組求價(jià)格函數(shù)，使在滿足約束條件的情況下使U[]達(dá)到最大值。

解方程組V:由拉格朗日乘數(shù)法，作輔助函數(shù):

顯然，為常數(shù)，但=53.75不符合題意，取(15)

將（15）式代入（14）式:

至此，得到最優(yōu)價(jià)格及周期最佳產(chǎn)量分別為：

二、建模結(jié)果

通過以上的分析與求解，已得出該模型結(jié)果的符號表達(dá)式：

原料的最佳采購周期:，最佳采購量:

產(chǎn)品的最優(yōu)價(jià)格: 最優(yōu)年產(chǎn)量:

單位產(chǎn)品獲利：

年終獲利:

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