辯證思維能力如何滲透在函數概念的教學中

摘 要：本文主要是要求學生對函數概念有正確清晰的認識，以熟練掌握函數的表示方法，培養辯證思維方面的能力。

關鍵詞：概念形成 函數表示法 辯證思維

概念是一種思維形式。函數是數學中最主要的概念之一，函數理論是高等數學的主要組成部分，是近代科學技術不可缺少的工具。由于自然界的一切事物總是在不停地運動、變化著，因此數學中也必須研究變量和變量間的相互關系。函數就是應此而產生的數學概念。中學階段，學生學習函數及其圖像、集合的簡單知識，從而通過集合元素的對應關系來加深對函數概念的理解；在此基礎上，引入函數的單調性與奇偶性；進而借助于單調函數及其圖像的學習，又從單值對應引出一一對應，從一一對應引出逆對應；同時由逆對應引出反函數的概念。這對于培養學生的辯證思維能力和進一步學習高等數學，起到很大的作用。

函數概念的教學目的是：（一）要求學生對函數概念有正確清晰的認識；（二）要求學生熟練掌握函數的表示法；（三）通過函數概念教學，培養學生辨證思維方面的能力。下面談談本人的一點粗淺認識。

一、函數概念的形成

函數的實例：在客觀世界中，事物的種類繁多，現象的形態各異，它們都按照各自的固有規律運動變化著。某一事物或現象的運動變化總表現為多個不同量的變化，而這些量的變化又不是孤立的，它們常常是按照該事物固有的規律互相聯系、對應著，即給定某量的一個值，依照規律都對應另一個量的唯一一個值。粗略地說，“兩個量（或兩個數）之間的對應規律”就是數學中所說的“函數”。函數概念產生于在同一個研究過程里變量間的相互關系之中，因此，建立函數概念必須以研究常量和變量作為起點。例如，把一個密閉容器內的氣體加熱時，氣體的體積和氣體的分子數保持一定，所以是常量；而氣體的溫度與壓力則是變量。一個量是常量還是變量，要根據具體問題具體條件來分析，而且要辨證地看問題，這一點，教學時應提出注意。例如，火車行駛時的速度，在開始階段或剎車階段是變化的，因而在該過程中是變量；在正常行駛階段變化很小，相對地可看作不變，因而是常量。

在同一個確定的過程中，往往會同時出現幾個變量。例如，一個物體作自由落體運動的過程中，重力加速度（g）是常量，物體經過的路程（s）與時間（t）是兩個變量，而且這兩個變量不是孤立無關的，而是緊密聯系的：物體運動的時間變了，其相應的路程也隨之而變；當確定了物體經過的時間后，相應的路程也隨之而確定，它們間符合的關系。變量s和t之間存在著這種相依關系的確定性，這樣就稱s和t構成了函數關系。其中t叫自變量，s叫自變量t的函數。由此可總結出，在某個研究過程中，存在函數關系的三條標準：（一）是否存在兩個變量（技校教材只限于一元函數）；（二）當一個變量變化時，另一個變量是否也隨之而變化；（三）當一個變量取確定值時，另一個變量是否也隨之取得唯一的確定值。

在許多問題中，自變量的允許取值范圍是有一定限制的，我們把自變量允許取值的范圍叫做函數的定義域。從數學角度看，要使表示函數關系的解析式有意義，自變量是需要有一定條件的；從應用問題的實際內容看，變量允許取值的范圍也是有一定限制的。這就是確定函數定義域的根據。求函數的定義域可參考以下幾個準則：

（1） 若f（x）是整式，則f（x）的定義域是全體實數的集合R；

（2） 若f（x）是分式，則分式的分母應該不為零；

（3） 若給出式子 （k為正整數），則應有f（x）≥0；

（4） 若給出式子log ，則應有f（x）＞0；

（5） 若給出式子arcsin f（x）、arccos f（x），則應有｜f（x）｜≤1；

（6） 若上述情況同時出現，可分別找出它們的定義域，取公共部分為所求的定義域。

函數值以及記號f（x）是函數概念教學的重點，學生開始學習函數時，往往不容易理解f（x）和f（a）的意義，有的認為f（x）是x的一次函數，f（ ）是x的二次函數，這說明對記號f（x）的教學不能忽視。

在函數概念的教學中可以指出，函數符號f（x）按其實質來說就是指對應法則，例如 f（x）=3x + x－1，那么對應法則f就是指這個式子中所給的一系列運算，而f（x）就是指下面括號中自變量的某一數值應作3（ ） +（）－1這樣的一系列的運算以求函數值。因此當x=1時有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。

一般來說，記號f（a）代表一個數，它等于函數f（x）在變數值等于a時的值。用幾何術語說：f（a）是函數f（x）在a點的值。如果a不屬于定義域，則f（a）就無意義了。

二、函數的表示法

通過對函數各種表示法的學習，可以加深對函數概念的理解。用公式或分析表達式直接給出自變量與因變量之間的關系是函數的分析表示法，在自然科學或實際問題中是經常遇到的，在微積分中，這種表示法也便于進行運算。

但是要防止學生產生函數關系一定能用公式表示的誤解。許多生產過程和科研實踐中，由觀察得到的一系列變量間對應的數據，不見得都能概括成這兩個變量間確定的解析表達式，但它們之間應該說構成函數關系，這種函數關系可用列表法來表示。通常用的各種數學用表，有的寫不出一般表達式（例如質數），有的寫出了表達式（例y=logx），但也不能揭示由x經過怎樣的代數運算步驟而得到y。采用列表法，就可彌補上述的不足。

公式法和列表法都可以表示函數關系，但它們都存在著表示因變量隨自變量的變化而變化的趨勢的直觀性差的缺點。而函數的圖示法具有直觀性、明顯性，并且便于研究函數的幾何性質。

在講授圖示法表示函數關系時，應注意：

（一）函數圖像存在的范圍是以函數定義域為依據的。

例1作函數 的圖像。

解： 定義域:是（-∞，+∞），

其圖像為（圖１）

例2作出函數y=x（其中x取整數）的圖像（圖２）。

（二）作函數圖像時，應把列出的點用平滑的曲線連結起來，而不能畫成折線。為此可舉函數 的圖像為例，先畫幾個點，連結成折線，再補進幾個點，讓學生看這些點并不在折線上，從而指出畫成折線是不對的。

在函數概念教學中，應注意挖掘教學內容中的教育因素，注意在教學過程中滲透一些辯證唯物主義的思想，這樣，不僅有利于學生學好數學基礎知識，也有助于對學生進行辯證唯物主義的教育。例如，常量和變量的相對性實際上蘊含著矛盾的對立統一這一法則；研究存在某種相依關系的兩個變量的過程，就是用運動、聯系的觀點來研究數學內容……教師如能把觀點蘊含于內容之中，通過內容滲透觀點，就會使函數概念的教學效果有所提高。

參考文獻：

［1］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上冊）——函數.北京：高等教育出版社，1992.

［2］齊建華.現代數學教育——數學學習論.鄭州：大象出版社，2001.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。