辯證法在數學中的運用

摘要：運用辯證唯物主義的思想，探討極限法的認識功能。

關鍵詞：極限法；辯證法；有限與無限;近似與準確;量變與質變

眾所周知，微積分學包含著豐富的辯證思想，正如恩格斯所說：“變數的數學——其中最重要的部分是微積分——本質上不外是辯證法在數學方面的運用。”而微積分的基本方法就是極限法。即：“微積分是用極限法研究函數的學科。”因此要學好和用好微積分的關鍵是要理解和掌握極限法。所謂極限法就是利用極限來分析問題和解決問題。其解決問題的步驟:欲求某個量先構造一個有關變量，認準該變量變化的結果就是要求的量，然后通過取極限得到新的所求量。運用極限法，不是靜止地、孤立地看問題，而是用運動的觀點，變化的觀點看問題，看事物的運動變化，看事物的相互聯系。即要用辯證的思維方法。借助極限法，人們可以“利用有限認識無限”，“利用近似認識準確”，“利用量變認識質變”，“利用常量認識變量”。本文就極限法的認識功能談辯證法在數學中的運用。

1. 利用有限認識無限

有限與無限是一對古老的哲學范疇，也是自然科學、數學中終究免不了要涉及到的一對有爭議的范疇。所謂的有限，一般是指有條件，受到一定限制，有生有滅，有始有終，可窮盡的意思。而無限即是“非有限”，通常指無條件，不受限制，不生不滅，無始無終，無窮盡的意思。有限與無限是辯證的統一，無限包含著有限，無限是由有限構成的，但不是靜止的有限物的堆積。有限與無限之間相互滲透，可以相互轉化。極限法就是用變化的觀點去考察問題。從變化當中去認識事物，利用有限去認識無限。

例如：希臘詭辯學派哲學家芝諾提出的四個有名悖論中最著名的“追龜說”，芝諾說，阿基里斯(希臘神話中善跑如飛的英雄)追烏龜，永遠追不上。芝諾并不是真的認為阿氏追不上龜，問題在于他和當時的很多學者都不知道阿氏在何時何地追上龜。這一問題只要利用極限概念就可確切地回答。其實質：加數的個數雖無止境，但其和是一個有限數。

以上充分體現了從有限過渡轉化到無限這一極限法的認識功能。正如列寧所說，“使有限轉化為無限的不是外在的力量，而是它（有限）的本性。”而“有限自身的本性，就是超越自己，否定自己的否定，并成為無限。”

2. 利用近似認識準確

精確和近似是相對性的，它們既是相互區別的，又是相互聯系的。近似的量不等于確定的量，但近似有精確的表示，本質上仍屬于精確范疇，運用極限法要去確定某一個量。我們首先確定的不是這個量本身，而是它的近似值；不只是一個近似值，而是一連串起來越準確的近似值，然后通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的準確值確定下來。

如:劉徽的割圓術:“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”這里就用到了極限法的思想，即：用圓內接正多邊形的面積來求圓的面積。當多邊形的邊數無限增加時，多邊形的面積和圓的面積越來越接近。N很大時，內接正n邊形的面積Sn就很近似于圓的面積S；n越大，近似程度越高。但是不論n多么大，這時的面積Sn還只是圓面積的近似值，而不是圓面積的精確值。

3. 利用量變認識質變

量和質是事物兩種不同的規定性。質就是一事物區別于它事物的內部所固有的規定性。量也是事物所固有的一種規定性。它是事物的規模、程度、速度，以及它的構成部分在空間上的排列組合等可以用數量表示的規定性。量變和質變是事物變化的兩種形式或兩種狀態。量變就是事物量的變化，即數量的增減和場所的變動。質變就是事物性質的變化，是由一種質態向另一種質態的轉變。量變和質變的關系是辯證的，是對立的統一。量的分割達到一定的程度，就產生了不同質的物質體。恩格斯說過：“純粹的量的分割是有一個極限的，到了這個極限它就轉化為質的差別。”

運用極限法可以使我們更清楚地認識到量變轉化為質變這一辯證的關系。

例如：利用圓內接正多邊形的面積求圓面積。要完成這種從多邊形到圓的過渡，就要求人們在觀念上，在思考方法上要有一個突破。

這里的困難就在于多邊形的周界是一些直線段，而圓的周界是處處彎曲的。即面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾，唯物辯證法認為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以互相轉化。

當n很大時，內接正n邊形的面積Sn就很近似于圓的面積S。n越大，近似程度越高。但是不論n多么大，這樣算出來的總還是多邊形的面積。無論如何它只是圓面積的近似值，而不是圓面積的精確值。

4. 利用常量認識變量

我們知道，初等數學基本上是常量數學，而微積分則屬于變量數學。在數學的歷史上，自從出現了解析幾何并繼而產生了微積分以后，便開始了變量數學的研究。正如恩格斯所指出的，變量概念的出現是數學中的轉折點。

所謂常量，即固定不變的量。所謂變量，就是變化著的量。常量和變量是辯證的統一，是有差異的統一，相互可以進行轉化。極限法就是用運動的觀點，變化的觀點考察事物的運動和變化過程。

例如：求自由落體的運動速度。

綜上，我們所遇到的矛盾，有的表現為有限與無限的矛盾，有的表現為常量與變量的矛盾，有的表現為曲與直的矛盾等等。解決這些矛盾的方法，首先是局部“以直代曲”、“以不變代變”等等，從而求得問題的近似解答，最后都歸結為近似與精確的矛盾。為了解決近似與精確的矛盾，我們都是用運動和變化的觀點看問題，看事物的運動變化和相互聯系。通過觀察一系列近似值的變化趨勢，得出精確的解答。即所謂的極限法。借助極限法我們可以從有限過渡到無限，從近似過渡到精確，從量變過渡到質變，從常量過渡到變量，這正是極限法的認識功能，是辯證法在數學中的運用。

參考文獻：

[1] 劉云章.打開你的數學思路.江蘇科技出版社.

[2] 吉大數學系.數學分析.人民教育出版社.

[3] 舒煒亮.自然辯證法原理.吉林人民出版社.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”