例談解題中特殊因素的發掘

平時教學中，我們常常注重題型的歸納和方法的總結，試圖將通性通法教給學生，重視了從特殊性中概括出普遍的規律性，這固然重要。然而，不少學生遇到具體題目，又難以尋覓到解題思路。一個重要原因，就是我們在教學中，忽視了在普遍性指導下去研究特殊情形。

眾多的數學問題具備各自特殊性，若能充分挖掘隱藏在題目中與之相關的特殊值、特殊式、特殊點、特殊位置、特殊關系……就能巧妙地利用這些特殊因素，使問題獲解。解題教學中，我們若不失時機地引導學生對蘊涵于題目中的特殊因素加以發掘，對于開拓學生的解題思路，形成特殊化的解題思想，提高學生的解題能力是大有裨益的。現結合自己的教學實踐與思考，就怎樣發掘特殊因素，介紹自己的一些做法，供參考。

1． 分析特殊因素尋求一般規律

認識論原理告訴我們：矛盾的普遍性寓于特殊性中，又通過特殊性表現出來。要研究普遍性，充分分析題目中的特殊因素，是發現題目中所蘊涵的一般規律的必要前提。

當然，在特殊情形下發現的規律，在一般情形下是否成立，要進行論證。

例2如下圖所示，按下列方法將數軸的正半軸繞在一個圓上（該圓周長為3個單位長，且在圓周的三等分點處分別標上了數字0、1、2）上：先讓原點與圓周上0所對應的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數軸上1、2、3、4…所對應的點分別與圓周上1、2、0、1…所對應的點重合。這樣，正半軸上的整數就與圓周上的數字建立了一種對應關系。

（1）圓周上數字a 與數軸上的數5對應，則a＝

（2）數軸上的一個整數點剛剛繞過圓周n圈（n為正整數）后，并落在圓周上數字1所對應的位置，這個整數是?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖 （用含n的代數式表示）。

思考：將數軸繞在一個圓周上，類似于一種卷尺，但數軸是理想化的一條直線，它沒有厚度，我們可用圖示的方法轉著寫數據，然后通過特殊例子出發去分析一般規律。我們將與0，1，2對應的數據標出來，發現2與數軸上的數5對應，a=2，繞過1圈后，落在圓周上數字1所對應的數是4；繞過2圈后，該位子上的數是7，以此類推，繞過n圈后，該位子上的數是3n+1。

2．巧用特殊因素優化解題思路

對于一些表面上可用常規方法求解的問題，如果按常規思路分析求解，方法較繁，計算量較大，甚至難以求出結果，若注意巧用特殊因素（點的位置特殊化、圖形形狀特殊化等），常能優化解題思路，獲得簡捷明快的解法。

3．抓住特殊因素探索解題途徑

某些數學問題，有時難以將其歸為我們所熟悉的一類常規問題，無法用一般規律解決。對于這類問題，可著眼于問題本身的特殊性，抓住某個特殊因素，并以此作為突破口，去探尋解題思路。

抓住了問題中的特殊點、特殊角，以此作為突破口是解決此題的關鍵。

4．借助特殊因素探求定值問題

定值類問題宜先定后證。探求定值問題是一個由一般到特殊的過程，在一般情形下是定值，則在特殊情形下一定是定值，故可先抓住特殊情形求出定值，從而為證定值提供方向。

例7如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C、D的坐標分別為（6，0），（0，4），（2，0），（0，3），連結OQ交過點O、C、D的外接圓于點P．求證：OP·OQ為定值。

思考：解讀題目中的條件，只要點Q在AB上，OP·OQ皆為定值，故借助特殊因素“點Q為線段AB上一動點”中的特殊情形“Q與B（或A）重合”，此時OP·OQ=OD·OB=12，從而明確解題方向，證明OP·OQ=OD·OB，進而轉化為證明等積式問題。連結CD、PD，先證△OCD∽△OBA得∠OCD=∠OBA，又∠OCD=∠OPD，進而證明△OPD∽△OBQ。

5．選取特殊因素探求變量范圍

對于某些求自變量取值范圍類問題，我們常通過選取兩種特殊極端情形來確定自變量最大、最小值，從而確定出自變量的取值范圍。

例8操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。

探究：設A、P兩點間的距離為x。

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論；（解略）（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與 x之間的關系，并寫出x的范圍；（3）略。

6．列舉特殊因素判斷命題正誤

要肯定一個命題的正確性，必須進行嚴格的邏輯論證，但要證明一個命題是假命題，只要舉出一個滿足題設而結論不成立的特例予以否定即可。舉反例否定一個命題與推理論證肯定命題具有同等的地位和作用。在數學教學中，我們常可列舉特殊因素，判斷命題正誤，消除一些模糊認識。

例9 試判斷命題“各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形”真假。

思考：舉特例“各邊相等的園的外切四邊形菱形”，命題不真。

7．捕捉特殊因素防止漏解增解

在考慮一般情形時，不可忽視特殊因素，否則時會產生增解漏解.通過捕捉特殊因素可防增堵漏。

例10已知一次函數y=（k－2）x＋k＋1不經過第三象限，求k的取值范圍。

思考：習慣地，我們總是畫出的直線經過第一、二、四象限的情形，得出 k－2＜0，k+1＞0，從而有－1＜k＜2在不經過第三象限的條件下，捕捉特殊情形直線只過第二、四象限（過原點），此時應有k+1=0，故本題k的范圍為－1≤k＜2捕捉特殊因素，防止了漏解k=－1。

例11 以線段AB為底邊的等腰三角形ABC的頂點C的軌跡是?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖。

思考：學生作答時，常誤以為軌跡是線段AB的垂直平分線，而忽視對增解AB中點的剔除。

例12在直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），過點A的直線交x軸于M，交y軸于N，且OA2=AM·AN，求M點的坐標。

綜上所述，通過引導學生發掘特殊因素，不僅使問題獲解，同時對于培養學生辯證唯物主義觀念，優化學生思維的廣闊性、靈活性、嚴謹性等思維品質是大有益處的。在重視由一般向特殊的推演同時，我們同樣要重視發掘特殊因素去解決一般問題。

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