從一道選擇題反思初中數學教學

摘 要：實施素質教育，為學生減負，這就要求我們改革以往的教學模式，改革教法，對學生進行學法指導。如何實施素質教育？本文結合一道選擇題論述了初中數學教學中實施素質教育的幾點看法。

關鍵詞：初中數學 素質教育 反思

本學期的一次月考中有一道選擇題，看似容易，但得分率并不高，這引起了我對初中數學教學的反思。初等教育必須實施素質教育，為學生減負，這就要求我們改革以往的教學模式，改革教法，對學生進行學法指導，否則什么改革都是一句空話。下面就結合這道題目談談自己的一點粗淺的看法。

1 題目

如圖1，一個等邊三角形的邊長和與它的一邊相切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，直到回到原出發位置時，該圓自轉了幾圈？答（ ）。

A．2 B．3 C．4 D．5

這道題目的正確答案是C。只有25%的學生答對，有75%的學生選擇了錯誤的答案。原因何在？

2 分析與解答

我們知道，一個三角形有三條邊和三個頂點，只需考慮兩方面：一方面考慮在邊上的滾動；另一方面考慮在頂點處的轉動。因為等邊三角形的三條邊相等且三個角都是60°，所以只考慮計算一條邊上和一個頂點處的運動就可以了。再仔細閱讀題目，“圓與三角形是相切的，且做無滑動旋轉”，這句話隱含的意思是：不要考慮其它因素。因為三角形的邊長和圓的周長相等，所以經過一條邊，圓剛好轉了1圈，三條邊上就是3圈。

圓在頂點處的旋轉：如圖2在點C處的情形，當圓與BC邊相切于點C時，CE是過圓心的直線，CE⊥BC，∠BCE=90°，∠ACB=60°，所以當圓轉到與AC相切于點C時，CF是過圓心的直線，CF⊥AC，∠ACF=90°，當圓沿點C從CE旋轉到CF時，切點是C點，∠ECF就是圓轉過的角度，∠ECF=360°-90°-60°=120°，即圓經過一個頂點轉120°，經過三個頂點共轉120°×3=360為1圈。

所以綜合以上兩個方面，圓共轉過4圈。正確的選擇是C，錯誤的答案都沒有考慮在頂點處的轉動。

3 反思

3．1數學教學要引導學生進行體驗性學習

體驗性學習就是要在做中學、在學中做，這符合素質教育的要求。比如這道題目，圓沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，圓沿著邊做直線運動，這個條件比較簡單和直觀，是顯示條件。但等邊三角形是一個平面圖形，當這個圓沿箭頭方向從某個位置出發直到回到原出發位置時，圓做的是曲線運動。圓要通過頂點處改變運動的方向才能回到原出發位置，這是一個穩性條件，容易被忽視。很多學生就只考慮邊上的滾動，而忽視在頂點處的轉動。

如果學生根據題目的要求作一個等邊三角形和一個圓，然后實際操作一下，再仔細觀察圓轉動的情況，顯示條件和穩性條件就會一目了然。圓沿邊的滾動，圓心始終在與邊平行的直線上，且直線離邊的距離是圓的半徑，切點是變化的，運動的方向沒有改變，但在頂點處圓繞頂點做旋轉，不是點的移動，而是圓周運動，運動方向是變化的，切點未變，圓未滾過距離而轉過一個角度，在三角形的每個頂點處要轉動1/3周。學生在這個體驗過程中就會感受到角度發生了變化，經過正確計算就能得到轉過的度數。這道題重在考查學生的實際解決問題的能力，只有讓學生在實際中經過體驗性學習才能容易發現穩性問題，同時能找到解決問題的途徑。教師應引導學生在實際中主動地進行時間觀察、分析等數學活動。

3．2數學教學要指導學生養成嚴謹的態度

看似簡單的一道題目，容易出現一個普遍性的錯誤，究其原因，我們不難看出，學生在解決問題時，會受到題目中的顯性條件的影響，忽視了隱性條件，從而產生錯覺。解這道題要注意以下三點：

（1）對于等邊三角形學生是很熟悉的，覺得再簡單不過了，因而會掉以輕心；

（2）圓的周長與等邊三角形的邊長相等，一目了然，學生就會粗心大意；

（3）沿邊做無滑動的旋轉，會讓學生一個誤解，覺得旋轉只與邊有關，與頂點無關，容易忽視在頂點處的運動。學生只重視顯性條件，而忽視了穩性條件。

通過這道題目，要教育學生在解決數學問題時不能因簡單而輕視，因粗心而疏漏，憑感覺而掉以輕心。一定要養成嚴謹的學習態度，不要受題目難易程度的影響，而要保持冷靜的套度，認真地審題，正確尋找解決問題的最佳方案。主要是解決題目中穩性問題，因為它不明顯、不顯露。有時穩性問題是命題者設置的一個障礙，一不小心就會“上當受騙”。

3．3數學教學要培養學生的探究意識

學生不應為解題而學習，而應把學習當成一種研究嘗試和組織的延伸。通過變化方式或添加條件來增強效果、發散思維。注意把題目變成練習，就學會一題多解或一題多變，學會多角度、多層次地研究與分析問題。解一道題目，就要掌握解決一類問題的方法。

例如可以把這道題目的已知條件進一步拓展：

（1）如果圓的周長不等于等邊三角形的邊長？

（2）如果這個三角形不是等邊三角形，是一般三角形？

（3）把等邊三角形改為正方形？

（4）把三角形改為五邊形、六邊形等？

我們可以分析上述的變形練習，主要是解決圓在邊上和頂點處的運動，圓邊上轉過的圈數就用邊長除以圓的周長。經過n條邊轉過的圈數，其實就是用多邊形的周長除以圓的周長。圓經過多邊形的所有頂點處共轉過的角度與多邊行的邊數無關，這是一個定值。

通過把一道題目變成幾個題目，不斷地提出問題，構成問題鏈，學生不斷地解決問題，把所學的知識反復地應用與鞏固，將原有的知識與新知識進行有效組合與溝通，就可得到一個普遍規律：圓沿著平面凸n邊行的邊做無滑動旋轉，從一個位置出發回到原出發位置時，該圓所轉高的圈數等于多邊行的周長除以圓的周長+1。

探究性學習就是要通過有限題目的學習去領悟無限題目的思維方法及規律。當你的思維處于無邊的探索時，你就會像滾雪球似地構建新的知識體系和新的知識網絡。每一次探索研究都會包括新的更高層次的思維活動，這本身就是一次創新、一次飛躍。

教育就是生活，學生對知識的探索與發現，正是對思維的磨練，也是對其生活能力的提高。