在不同“力場”中單擺周期公式中ｇ的取值

單擺的周期公式T=2πL/g在解題中應(yīng)用較多，對于公式中g(shù)的含義在許多文章中都有講解，但本人認(rèn)為都不夠完善。g廣義的理解應(yīng)為等效重力加速度g'，但是在不同“力場”中g(shù)'的取值是不同的，那么如何求g'呢?g'應(yīng)為單擺在擺動(dòng)平面內(nèi)處于平衡位置時(shí)，擺球所受到的能提供其回復(fù)力的所有力場中力的合力與其質(zhì)量的比值，即：g'=F_合/m。在這里要強(qiáng)調(diào)的是F合必須是能提供擺球回復(fù)力的所有力場中力的合力，不能提供擺球回復(fù)力的力場不能計(jì)算在內(nèi)。所以在求g'時(shí)，第一步應(yīng)該確定擺球的平衡位置，第二步對擺球進(jìn)行受力分析，第三步求出提供其回復(fù)力的所有力的合力，然后由g'=F_合／m求出g'。下面從不同“力場”具體分析一下：

1重力場

例1一單擺擺長為L，置于一半徑為R，質(zhì)量為M的星球上做簡諧運(yùn)動(dòng)，求單擺周期。

解析由題可知此單擺的等效重力加速度即為該星球的重力加速度，由萬有引力定律可求出g'=GM／R²，代入周期公式即可求出T。

例2如圖1小球用長為L的細(xì)線系于與水平面成α角的光滑斜面內(nèi)，小球在斜面內(nèi)作簡諧運(yùn)動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)周期。

解析首先確定平衡位置，在重力場中提供其回復(fù)力的只有重力的分力G₁，所以g'=G₁／m=mgsinα／m=gsinαa，代入周期公式可求出周期。

2電場與重力的復(fù)合場

例3如圖3一單擺置于電場中，擺球帶正電+q，質(zhì)量為m，直徑為d，懸線長L，電場強(qiáng)度為E，單擺作簡諧運(yùn)動(dòng)。求此單擺的周期。

例4如圖4，一細(xì)繩懸掛一帶正電的小球，現(xiàn)在懸點(diǎn)固定一帶正電的小球，兩球帶電量均為q，小球質(zhì)量為m，直徑為d，懸線長L，現(xiàn)讓該單擺作簡諧運(yùn)動(dòng)，求其周期。

解析確定擺球的平衡位置A，受力分析如圖，本題中電場力并不提供其回復(fù)力，提供其回復(fù)力的只有重力，所以

3磁場、電場與重力的復(fù)合場

由于帶電物體在磁場中運(yùn)動(dòng)，其所受的磁場力始終與其運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以磁場對單擺始終不提供回復(fù)力，那么單擺在磁場、電場與重力的復(fù)合場中的情況與單擺在電場與重力的復(fù)合場中的情況是一樣的，g'的求法同上。

4非慣性系

前面所討論的情況都是在慣性系中，如果單擺放在非慣性系中g(shù)'又如何來求呢?在非慣性系中求的方法與在慣性系中相同，只是在受力分析中要加上慣性力F_慣。下面通過例題說明：

例5如圖5一小車在水平面上以加速度a作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，車內(nèi)一擺長為L的單擺在與車廂前進(jìn)方向同一平面內(nèi)作簡諧運(yùn)動(dòng)，求其周期。

如果將上題中的小車置于一傾角為θ的斜面上 ，當(dāng)小車以加速度a沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，則單擺作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其回復(fù)力仍由G與F_慣提供（如圖6）。

此時(shí)單擺的平衡位置并不與車廂底垂直，而是與豎直位置夾一角度α，由平衡方程可得

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文