與地球自轉有關的物理問題
2007-12-31 00:00:00戴鳳國蔣沛鴻
物理教學探討 2007年10期
以地球自轉為背景結合萬有引力定律的物理問題在近幾年的高考試題中出現的頻率較高，這類問題不僅能較好地考查學生的空間想象能力，構建物理模型解決實際問題的能力，而且對提高學生的科學素養有較好的作用，這與新一輪的課程改革的思想相吻合。本文談談與地球自轉有關的物理問題的解決方法。
解決與地球自轉有關的物理問題，除了要熟練掌握勻速圓周運動、萬有引力定律及與地球自轉的相關知識外，解題的關鍵是空間想象能力、建模能力，特別是如何把空間問題轉化為平面問題來處理的能力。具體問題可根據空間關系分為二類。
1軌道平面與赤道平面平行
地球上的物體、赤道平面上運行的衛星與赤道空間關系如圖1所示，從北極上空往下看可轉化為平面圖如圖2所示。
例1(2004年上海)太陽從東邊升起，西邊落下，是地球上的自然現象，但在某些條件下，在緯度較高地區上空飛行的飛機上，旅客可以看到太陽從西邊升起的奇妙現象，這些條件是
A．時間必須是在清晨，飛機正在由東向西飛行，飛機的速度必須較大
B．時間必須是在清晨，飛機正在由西向東飛行，飛機的速度必須較大
C．時間必須是在傍晚，飛機正在由東向西飛行，飛機的速度必須較大
D．時間必須是在傍晚，飛機正在由西向東飛行，飛機的速度不能太大
解析選C。太陽清晨從東邊升起，傍晚往西邊落下，現在太陽在西邊，故必定是傍晚。由于地球自西向東自轉，若以地面為參考系，則太陽由東向西繞地軸旋轉，其旋轉快慢與地球的自轉快慢相同。當飛機也是由東向西以與地球自轉相同轉速沿圓周飛行時，就可以看到太陽在西邊靜止不動，既不升起，也不下落；只有當飛機以較大的速度向西飛行使其轉速大于地球的自轉速度，也既大于太陽繞地軸轉動的速度，我們才可以看到太陽從西邊升起。高緯度地面上某一點隨地球自轉的線速度的大小v比低緯度的小，飛機速度的大小容易超過這個v，才有可能看到太陽從西邊升起。
例2一顆在赤道上空運行的人造衛星，其軌道半徑為r=2R(R為地球半徑)，衛星的運動方向與地球自轉方向相同。已知地球自轉的角速度為ω，地球表面處的重力加速度為g。
(1)求人造衛星繞地球轉動的角速度。
(2)若某時刻衛星通過赤道上某建筑物的正上方，求它下次通過該建筑物上方需要的時間。
解析(1)地球對衛星的萬有引力提供作圓周運動的向心力
（2）衛星下次通過該建筑物上方時，衛星比地球多轉2π 弧度，所需時間
例3（2004年廣東）某顆地球同步衛星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射。
解析設所求的時間為t，用m、M分別表示衛星和地球的質量，r表示衛星到地心的距離。則根據萬有引力定律和圓周運動有
春分時，太陽光直射地球赤道，如圖3所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛星，A表示觀察者，O表示地心。由圖可看出當衛星S繞地心O轉到圖示位置以后（設地球自轉是沿圖中逆時針方向），其正下方的觀察者將看不見它。據此再考慮到對稱性，有
2軌道平面與赤道平面垂直
極地衛星與赤道平面垂直其空間關系如圖4所示，當衛星運行至赤道平面共面時，從北極上空往下看可轉化為平面圖如圖5所示。
例4可發射一顆這樣的人造地球衛星，使其圓軌道
A.與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓
B.與地球表面上某一經度線所決定的圓是是共面同心圓
C.與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛星相對地球表面是靜止的
D.與地球表面上的赤道線是共面同心圓，但衛星相對地球表面是運動的
解析人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動的向心力是地球對它的萬有引力，也就是說地球的球心是人造地球衛星做圓周運動的圓心，地球只有緯度為零的赤道的圓心與地球的球心是重合的，其他緯線是平面的圓心與地球的球心不重合，故不可能發射與非赤道緯線共面的人造地球衛星。由于地球的自轉，地球每一條經線所決定的圓都在繞地軸轉動，而發射的人造地球衛星若是通過南北極，它與某一經線在某一時刻能共面，但是這條經線馬上就會與人造地球衛星所在的平面成一角度。同步衛星就是定點在赤道的上空，且相對地球的表面是靜止的，人造地球衛星的軌道可以是與赤道共面的同心圓，只要其高度不是同步衛星的高度，則衛星相對地球表面就是運動的，綜合所述，C、D兩選項正確。
例5偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道上運動，它的運行軌道距地面高度為h，已知地球半徑為R，地面表面處的重力加速度為g，地球的自轉周期為T。
（1）試求該衛星的運行速度；
（2）要使衛星在一天內將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍下來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝像機應拍攝地面上赤道圓周的弧長S是多少？
解析（1）設地球質量為M，衛星質量為m，衛星在運行時，由萬有引力提供向心力：
設地球表面有個質量為m0的物體，則：
由上述二式聯立，衛星的運行速度為：
（2）設衛星的運動周期為T'，則：
從以上的例子可以看出，解決“與地球自轉有關的物理問題”關鍵是能想象物理情景，把空間問題轉化為平面問題來處理。
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文
