巧用極限法速解選擇題

在物理解題方面，除了常規(guī)的分析、綜合等方法之外，還有一些非常規(guī)的方法。本文想通過(guò)三個(gè)較典型的例子，讓讀者領(lǐng)略一下其中極限法的的神奇和精妙之處。

例1 有三個(gè)體積和形狀完全相同的物體浮在某液面上，其中a物體浮出液面只有一小部分，而b物體恰好浮出一半，c物體浮出液面一大半。把所有浮出液面的部分去掉以后，出現(xiàn)的現(xiàn)象是( )

A.a物體浮出液面的部分最多。

B.b物體露出液面的部分最多。

C.c物體露出液面的部分最多。

D.條件不足，無(wú)法判斷。

這個(gè)題目并不是什么新題目，在眾多的雜志上，有不少中學(xué)老師提出了自己的解法。其中有一位作者還自吹他所采用的賦值法是最快的方法。其實(shí)它和極限法相比真是小巫見(jiàn)大巫。

為了能進(jìn)行比較，我們將分別用常規(guī)方法和極限來(lái)解。

解法1 (常規(guī)分析法)

先把這個(gè)選擇題轉(zhuǎn)化為一般的問(wèn)題。設(shè)某一密度為ρ₁的物體浮于密度為ρ₂的液面上。假定這個(gè)物體是一個(gè)底面積為 S，高為h的圓柱體，并設(shè)浸沒(méi)在液面下面的部分長(zhǎng)度為x，露出液面部分的長(zhǎng)度為y， 則我們要問(wèn)：去掉浮出液面的長(zhǎng)度為y的那部分以后，剩余部分的物體露出液面的長(zhǎng)度為多少？物體密度與液體密度的比值為多少時(shí)，第二次露出液面的部分為最多？

根據(jù)物體的平衡條件有浮力等于重力。即ρ₂Sxg=ρ₁Shg，所以有x=ρ₁h/ρ₂，（1）

y=h-x=(ρ₂-ρ₁)h/ρ₂。（2）

去掉露出液面部分的物體以后，物體的總長(zhǎng)度為x。設(shè)第二次浸沒(méi)在液面下面的部分長(zhǎng)度為x′，露出液面部分的長(zhǎng)度設(shè)為y′，根據(jù)同樣的平衡條件，可以得到：x′=ρ₁x/ρ₂。（3）

y′=x-x′=(ρ₂-ρ₁)ρ₂x，即y′=(ρ₂-ρ₁)ρ₁ρ₂²·h=hρ₂²·(ρ₂-ρ₁)ρ₁=k·z。（4）

在4式中k=h/ρ₂²，z=(ρ₂-ρ₁)ρ₁=ρ₂ρ₁-ρ21。

［實(shí)際上只要在（1）、（2）兩式中把x換成x′，y換成主y′，h換成x就可以得到（3）、（4）兩式］。

由（4）式可知，因ρ₂，h均為常量，只有ρ₁為變量。所以，要求出ρ₁取什么值時(shí)，y′取極大值，只要求出何時(shí)z取極值即可。顯然ρ₂ρ₁-ρ21=14ρ₂²-(ρ₁-12ρ₂) 只有當(dāng)ρ₁= 12ρ₂時(shí)，此式才能取極大值（此時(shí)，x=y=h/2）。由此可得y′的極大值為h/4。事實(shí)上z=(ρ₂-ρ₁)ρ₁=ρ₂ρ₁-ρ21是以ρ₂/2為中心對(duì)稱軸，開(kāi)口向下的拋物線。當(dāng)ρ₁=0或ρ₁=ρ₂時(shí)z都等于零，從而y′也為零。 由此可以得出，在題目給定的四個(gè)選項(xiàng)中，只有B是正確的。此法雖然分析得很透徹，但是一個(gè)選擇題，如果要這樣做的話，就要花很長(zhǎng)時(shí)間。

解法2 （極限法）

題目中既然給出了a物體只露出一小部分，到底露出多少它沒(méi)有給出。既然如此，我們可以采用極限法的思想，假定露出的部分趨向于零（這完全沒(méi)有違反題中的條件），這樣去除露出的部分也就等于沒(méi)有去除。所以它仍然只露出無(wú)限小的一部分。同樣，題中給出物體c露出液面一大部分，到底多少它沒(méi)有說(shuō)。既然如此，我們就可以假定它幾乎全部露出，而浸沒(méi)在液面下面的也就幾乎為零了。這樣去除液面上的那部分之后，剩下的就幾乎沒(méi)有了，浮出液面的那部分也就可以不計(jì)。而物體b本身的長(zhǎng)度題目是沒(méi)有告訴的，因此，這就意味著不管多長(zhǎng)它總是露出一半，于是去掉一半以后當(dāng)然還是露出剩余總長(zhǎng)度的一半，即露出最初長(zhǎng)度的1/4。所以只有物體b露出的最多，即選項(xiàng)B是正確的。用此法解題瞬間即能完成。

例2 杠桿兩端掛有物體a和物體b，a、b離開(kāi)支點(diǎn)O的距離分別為L(zhǎng)_a和L_b，杠桿處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)在如果把這兩個(gè)物體放入兩個(gè)盛有同種液體的杯子中并都浸沒(méi)在液體里。則杠桿的平衡狀況是( )

A.繼續(xù)保持平衡。

B.杠桿將向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

C.杠桿將向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

D.條件不足無(wú)法判斷。

解法1(常規(guī)分析法)

設(shè)a，b兩物體的密度分別為ρa，ρb，體積分別為Va，Vb，重力分別為Ga，Gb。液體的密度為ρ。由于開(kāi)始時(shí)杠桿處于平衡狀態(tài)，所以根據(jù)平衡條件有：GaL_a=GbL_b，（1）

或者ρaVaL_a=ρbVbL_b。（2）

浸沒(méi)在液體里面之后，物體a和物體b都受到重力、浮力和繩子的拉力三個(gè)力的作用。設(shè)繩子對(duì)物體a、b的拉力分別為F′a，F(xiàn)′b，物體a、b受到的浮力分別為fa，fb。物體a、b對(duì)對(duì)左右兩個(gè)繩子的拉力分別為 Fa，F(xiàn)b（當(dāng)然這個(gè)拉力也等于繩子拉杠桿的力）。由牛頓第三定律可知：

Fa=F′a，F(xiàn)b=F′b。（3）

由于物體a和物體b都處于平衡狀態(tài)，所以有：Ga=F′a+fa，Gb=F′b+fb。（4）

杠桿左右兩邊拉力產(chǎn)生的力矩分別是F′aL_a，F(xiàn)′bL_b。利用（3）和（4）可知

F′aL_a>GaL_a-faL_a=GaL_a-ρVagL_a，

F′bL_b=GbL_b-fbL_b=GbL_b-ρVbgL_b（5）

若F′aL_a>F′bL_b，也即GaL_a-ρVagL_a>GbL_b-ρVbgL_b。則此時(shí)杠桿必定向左邊傾斜或做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。由（1）式可把此不等式化為ρVagL_a<ρVbgL_b或者VaL_a/VbL_b<1，由（2）式又可把此不等式化為ρb/ρa<1。由此可知，當(dāng)ρb<ρa時(shí)杠桿就向物體a的一方傾斜。反之，我們可以得出，如果ρa<ρb，就向b的一方傾斜。也即浸沒(méi)在液體里面后杠桿總是向物體密度大的一方傾斜。當(dāng)兩個(gè)物體的密度相同時(shí)仍然保持平衡。由于題中沒(méi)有告訴我們兩邊的物體密度是否相同，所以無(wú)法判斷其平衡狀況，也即選擇D。

解法2（極限法）

先假定左邊物體密度大于右邊的密度。由于不知道左邊物體的密度到底是多大，不妨設(shè)想左邊物體的密度非常大，以至于大到無(wú)窮大，此時(shí)左邊物體的體積將會(huì)變得無(wú)窮小，這導(dǎo)致浸沒(méi)在液體里以后受到的浮力也會(huì)無(wú)窮小。而右邊的物體受到的浮力卻是有一定數(shù)值的，這樣杠桿當(dāng)然會(huì)朝左邊傾斜。反之，若右邊的物體密度遠(yuǎn)大于左邊，以至于可以認(rèn)為是無(wú)窮大時(shí)，體積就會(huì)無(wú)窮小，右邊受到的浮力也是無(wú)窮小，而左邊是有一定浮力的，所以杠桿將向右邊傾斜。可以肯定，當(dāng)兩邊密度滿足一定的關(guān)系時(shí)杠桿將仍然保持平衡（至于什么關(guān)系，兩者密度是否相等才保持平衡我們暫時(shí)可以不予考慮，以節(jié)省時(shí)間）。我們只要知道，根據(jù)極限法，向左傾，向右傾或繼續(xù)保持平衡這三種可能都是存在的。到底出現(xiàn)哪一種情況由左右兩邊的物體的密度而定。由于題目中沒(méi)有給定密度，所以無(wú)法判斷究竟出現(xiàn)哪一種情況。于是我們只能選擇D。用此法，在一瞬間就可完成此題，3s都不要。

例3 有甲、乙兩種氨水溶液，甲的濃度或質(zhì)量分?jǐn)?shù)是10%，乙的質(zhì)量分?jǐn)?shù)是20% ，則把相同體積的這兩種溶液混合以后，它的濃度或質(zhì)量分?jǐn)?shù)η是( )

A.η<10%。B.10%<η<15%。

C.15%<η<20%。D. η>20%。

此題如果用常規(guī)方法做將非常麻煩，甚至無(wú)從下手。而如果采用極限法將很快解決。

設(shè)甲乙兩種溶液的密度分別為ρ₁、ρ₂，體積均為V，則混合后溶質(zhì)的總質(zhì)量為(0.1ρ₁V+0.2ρ₂V)，溶液的總質(zhì)量為(ρ₁V+ρ₂V)，兩者的比值即為混合溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，即η=(0.1ρ₁+0.2ρ₂)/ (ρ₁+ρ₂) 。氨水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)越大，氨就越多，其密度就越小.所以有ρ₂<ρ₁， 在η的表達(dá)式中，分子分母同除以ρ₁可得η=(0.1 +0.2ρ₂/ρ₁)/ (1+ρ₂/ρ₁)，因?yàn)棣?sub>2<ρ₁，所以其比值ρ₂/ρ₁<1， 用極限法可以得到這個(gè)比值最小為0，最大為1，當(dāng)然0和1都是不可能達(dá)到的，所以有0<ρ₂/ρ₁<1， 把ρ₂/ρ₁=0和ρ₂/ρ₁=1分別代入η的表達(dá)式可以得10%<η<15 % ，也即選項(xiàng)B是正確的。

從上面的三例可以看到，用極限法解題的確是既快又好。但是極限法也有自身的缺點(diǎn)。主要是它的適用范圍有限。它只適合解決一些選擇、判斷和少數(shù)填空題，對(duì)于很多計(jì)算題和實(shí)驗(yàn)、設(shè)計(jì)題它是無(wú)能為力的。一般地，當(dāng)某個(gè)原因（用x表示）引起某一個(gè)結(jié)果（用y表示，形式上可以寫(xiě)成y=f(x)）時(shí)，如果x的連續(xù)變化導(dǎo)致y的連續(xù)變化，并出現(xiàn)幾種不同的結(jié)果或現(xiàn)象時(shí)，我們可以令x→0或x→∞，看看會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果。如果x有一個(gè)確定的取值范圍：a

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”