巧用極限法速解選擇題

在物理解題方面，除了常規的分析、綜合等方法之外，還有一些非常規的方法。本文想通過三個較典型的例子，讓讀者領略一下其中極限法的的神奇和精妙之處。

例1 有三個體積和形狀完全相同的物體浮在某液面上，其中a物體浮出液面只有一小部分，而b物體恰好浮出一半，c物體浮出液面一大半。把所有浮出液面的部分去掉以后，出現的現象是( )

A.a物體浮出液面的部分最多。

B.b物體露出液面的部分最多。

C.c物體露出液面的部分最多。

D.條件不足，無法判斷。

這個題目并不是什么新題目，在眾多的雜志上，有不少中學老師提出了自己的解法。其中有一位作者還自吹他所采用的賦值法是最快的方法。其實它和極限法相比真是小巫見大巫。

為了能進行比較，我們將分別用常規方法和極限來解。

解法1 (常規分析法)

先把這個選擇題轉化為一般的問題。設某一密度為ρ₁的物體浮于密度為ρ₂的液面上。假定這個物體是一個底面積為 S，高為h的圓柱體，并設浸沒在液面下面的部分長度為x，露出液面部分的長度為y， 則我們要問：去掉浮出液面的長度為y的那部分以后，剩余部分的物體露出液面的長度為多少？物體密度與液體密度的比值為多少時，第二次露出液面的部分為最多？

根據物體的平衡條件有浮力等于重力。即ρ₂Sxg=ρ₁Shg，所以有x=ρ₁h/ρ₂，（1）

y=h-x=(ρ₂-ρ₁)h/ρ₂。（2）

去掉露出液面部分的物體以后，物體的總長度為x。設第二次浸沒在液面下面的部分長度為x′，露出液面部分的長度設為y′，根據同樣的平衡條件，可以得到：x′=ρ₁x/ρ₂。（3）

y′=x-x′=(ρ₂-ρ₁)ρ₂x，即y′=(ρ₂-ρ₁)ρ₁ρ₂²·h=hρ₂²·(ρ₂-ρ₁)ρ₁=k·z。（4）

在4式中k=h/ρ₂²，z=(ρ₂-ρ₁)ρ₁=ρ₂ρ₁-ρ21。

［實際上只要在（1）、（2）兩式中把x換成x′，y換成主y′，h換成x就可以得到（3）、（4）兩式］。

由（4）式可知，因ρ₂，h均為常量，只有ρ₁為變量。所以，要求出ρ₁取什么值時，y′取極大值，只要求出何時z取極值即可。顯然ρ₂ρ₁-ρ21=14ρ₂²-(ρ₁-12ρ₂) 只有當ρ₁= 12ρ₂時，此式才能取極大值（此時，x=y=h/2）。由此可得y′的極大值為h/4。事實上z=(ρ₂-ρ₁)ρ₁=ρ₂ρ₁-ρ21是以ρ₂/2為中心對稱軸，開口向下的拋物線。當ρ₁=0或ρ₁=ρ₂時z都等于零，從而y′也為零。 由此可以得出，在題目給定的四個選項中，只有B是正確的。此法雖然分析得很透徹，但是一個選擇題，如果要這樣做的話，就要花很長時間。

解法2 （極限法）

題目中既然給出了a物體只露出一小部分，到底露出多少它沒有給出。既然如此，我們可以采用極限法的思想，假定露出的部分趨向于零（這完全沒有違反題中的條件），這樣去除露出的部分也就等于沒有去除。所以它仍然只露出無限小的一部分。同樣，題中給出物體c露出液面一大部分，到底多少它沒有說。既然如此，我們就可以假定它幾乎全部露出，而浸沒在液面下面的也就幾乎為零了。這樣去除液面上的那部分之后，剩下的就幾乎沒有了，浮出液面的那部分也就可以不計。而物體b本身的長度題目是沒有告訴的，因此，這就意味著不管多長它總是露出一半，于是去掉一半以后當然還是露出剩余總長度的一半，即露出最初長度的1/4。所以只有物體b露出的最多，即選項B是正確的。用此法解題瞬間即能完成。

例2 杠桿兩端掛有物體a和物體b，a、b離開支點O的距離分別為L_a和L_b，杠桿處于平衡狀態。現在如果把這兩個物體放入兩個盛有同種液體的杯子中并都浸沒在液體里。則杠桿的平衡狀況是( )

A.繼續保持平衡。

B.杠桿將向逆時針旋轉。

C.杠桿將向順時針旋轉。

D.條件不足無法判斷。

解法1(常規分析法)

設a，b兩物體的密度分別為ρa，ρb，體積分別為Va，Vb，重力分別為Ga，Gb。液體的密度為ρ。由于開始時杠桿處于平衡狀態，所以根據平衡條件有：GaL_a=GbL_b，（1）

或者ρaVaL_a=ρbVbL_b。（2）

浸沒在液體里面之后，物體a和物體b都受到重力、浮力和繩子的拉力三個力的作用。設繩子對物體a、b的拉力分別為F′a，F′b，物體a、b受到的浮力分別為fa，fb。物體a、b對對左右兩個繩子的拉力分別為 Fa，Fb（當然這個拉力也等于繩子拉杠桿的力）。由牛頓第三定律可知：

Fa=F′a，Fb=F′b。（3）

由于物體a和物體b都處于平衡狀態，所以有：Ga=F′a+fa，Gb=F′b+fb。（4）

杠桿左右兩邊拉力產生的力矩分別是F′aL_a，F′bL_b。利用（3）和（4）可知

F′aL_a>GaL_a-faL_a=GaL_a-ρVagL_a，

F′bL_b=GbL_b-fbL_b=GbL_b-ρVbgL_b（5）

若F′aL_a>F′bL_b，也即GaL_a-ρVagL_a>GbL_b-ρVbgL_b。則此時杠桿必定向左邊傾斜或做逆時針旋轉。由（1）式可把此不等式化為ρVagL_a<ρVbgL_b或者VaL_a/VbL_b<1，由（2）式又可把此不等式化為ρb/ρa<1。由此可知，當ρb<ρa時杠桿就向物體a的一方傾斜。反之，我們可以得出，如果ρa<ρb，就向b的一方傾斜。也即浸沒在液體里面后杠桿總是向物體密度大的一方傾斜。當兩個物體的密度相同時仍然保持平衡。由于題中沒有告訴我們兩邊的物體密度是否相同，所以無法判斷其平衡狀況，也即選擇D。

解法2（極限法）

先假定左邊物體密度大于右邊的密度。由于不知道左邊物體的密度到底是多大，不妨設想左邊物體的密度非常大，以至于大到無窮大，此時左邊物體的體積將會變得無窮小，這導致浸沒在液體里以后受到的浮力也會無窮小。而右邊的物體受到的浮力卻是有一定數值的，這樣杠桿當然會朝左邊傾斜。反之，若右邊的物體密度遠大于左邊，以至于可以認為是無窮大時，體積就會無窮小，右邊受到的浮力也是無窮小，而左邊是有一定浮力的，所以杠桿將向右邊傾斜。可以肯定，當兩邊密度滿足一定的關系時杠桿將仍然保持平衡（至于什么關系，兩者密度是否相等才保持平衡我們暫時可以不予考慮，以節省時間）。我們只要知道，根據極限法，向左傾，向右傾或繼續保持平衡這三種可能都是存在的。到底出現哪一種情況由左右兩邊的物體的密度而定。由于題目中沒有給定密度，所以無法判斷究竟出現哪一種情況。于是我們只能選擇D。用此法，在一瞬間就可完成此題，3s都不要。

例3 有甲、乙兩種氨水溶液，甲的濃度或質量分數是10%，乙的質量分數是20% ，則把相同體積的這兩種溶液混合以后，它的濃度或質量分數η是( )

A.η<10%。B.10%<η<15%。

C.15%<η<20%。D. η>20%。

此題如果用常規方法做將非常麻煩，甚至無從下手。而如果采用極限法將很快解決。

設甲乙兩種溶液的密度分別為ρ₁、ρ₂，體積均為V，則混合后溶質的總質量為(0.1ρ₁V+0.2ρ₂V)，溶液的總質量為(ρ₁V+ρ₂V)，兩者的比值即為混合溶液的質量分數，即η=(0.1ρ₁+0.2ρ₂)/ (ρ₁+ρ₂) 。氨水的質量分數越大，氨就越多，其密度就越小.所以有ρ₂<ρ₁， 在η的表達式中，分子分母同除以ρ₁可得η=(0.1 +0.2ρ₂/ρ₁)/ (1+ρ₂/ρ₁)，因為ρ₂<ρ₁，所以其比值ρ₂/ρ₁<1， 用極限法可以得到這個比值最小為0，最大為1，當然0和1都是不可能達到的，所以有0<ρ₂/ρ₁<1， 把ρ₂/ρ₁=0和ρ₂/ρ₁=1分別代入η的表達式可以得10%<η<15 % ，也即選項B是正確的。

從上面的三例可以看到，用極限法解題的確是既快又好。但是極限法也有自身的缺點。主要是它的適用范圍有限。它只適合解決一些選擇、判斷和少數填空題，對于很多計算題和實驗、設計題它是無能為力的。一般地，當某個原因（用x表示）引起某一個結果（用y表示，形式上可以寫成y=f(x)）時，如果x的連續變化導致y的連續變化，并出現幾種不同的結果或現象時，我們可以令x→0或x→∞，看看會出現什么樣的結果。如果x有一個確定的取值范圍：a

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