分析物體運(yùn)動(dòng)情況的方法

在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解題中有兩個(gè)基本的分析，一個(gè)是物體受力情況的分析，一個(gè)是物體運(yùn)動(dòng)情況的分析。物體受力情況分析是物體運(yùn)動(dòng)情況分析的基礎(chǔ)，這兩個(gè)分析是求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。本文將系統(tǒng)談?wù)劮治鑫矬w運(yùn)動(dòng)情況的方法。

1直接用運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系分析

一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況取決于物體所受的合外力和物體的初始狀態(tài)（初速度v₀）。運(yùn)動(dòng)和力的基本關(guān)系有：1、當(dāng)合外力與速度在一條直線上時(shí)，物體做直線運(yùn)動(dòng)（包括當(dāng)合外力方向與速度方向相同時(shí)，物體做加速直線運(yùn)動(dòng) ；當(dāng)合外力方向與速度方向相反時(shí)，物體做減速直線運(yùn)動(dòng)）。2、當(dāng)合外力與速度不在一條直線上時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)。3、當(dāng)合外力恒定時(shí)，物體做勻變速運(yùn)動(dòng)。有很多習(xí)題可直接用運(yùn)動(dòng)和力的基本關(guān)系分析。

例1如圖１所示，傳動(dòng)帶以v=10m/s的速度逆時(shí)針運(yùn)行，在傳動(dòng)帶的A端輕放一質(zhì)量m=0.5kg的小物體，并加水平向左的恒力F=3N，使物體從靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，它與傳動(dòng)帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，若傳動(dòng)帶兩端的長(zhǎng)度為AB=L=16m，求物體從A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間。

分析與解物體放上傳動(dòng)帶后開(kāi)始的一段時(shí)間里，由于相對(duì)傳動(dòng)帶向右滑動(dòng)，所以它受到的摩擦力方向向左，則物體的加速度a=(F+μmg)/m=10m/s²，據(jù)運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，物體向左做勻加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)物體加速到速度等于傳動(dòng)帶的速度時(shí)，物體已發(fā)生的位移

已經(jīng)歷的時(shí)間為

此時(shí)物體離傳動(dòng)帶左端的距離為

2運(yùn)用圖象變換分析

若已知物體的合力或加速度隨時(shí)間變化的情況，可利用圖象變換分析物體的運(yùn)動(dòng)情況。

例2已知一靜止的質(zhì)量為m=2kg的質(zhì)點(diǎn)從某時(shí)刻起第1s內(nèi)受到向東的4N的合外力作用，第2s內(nèi)所受合外力為零，第3s內(nèi)又受到向東的4N的合外力作用，第4s內(nèi)合外力又為零，如此反復(fù)，求第10s末質(zhì)點(diǎn)已發(fā)生的位移。

分析與解以向東為正方向，畫(huà)出質(zhì)點(diǎn)的加速度圖象如圖2（甲），由此可根據(jù)速度圖象的斜率即為加速度，畫(huà)出質(zhì)點(diǎn)的v-t圖象如圖2（乙）所示。此圖象就反映了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

在v-t圖象中，圖象與時(shí)間軸所夾的面積表示物體的位移，由圖象可知第1s內(nèi)的位移為1m，第2s內(nèi)的位移為2m，第3s內(nèi)的位移為3m……所以第10s末質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移為

3借助等效、類比的方法分析

把一個(gè)陌生的問(wèn)題通過(guò)等效類比變成我們所熟悉的問(wèn)題求解這是在物理問(wèn)題的研究中經(jīng)常采用的方法。此方法可用于物體運(yùn)動(dòng)情況的分析。

例3如圖3所示，一光滑軌道由平面AB與半徑為R的圓弧BCDF組成。整個(gè)軌道處于豎直平面內(nèi)，所處空間有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，在AB=L的A點(diǎn)有一質(zhì)量為m電量為+q的小球，且mg=qE（g為重力加速度），開(kāi)始時(shí)小球靜止，問(wèn)L至少為何值時(shí)，小球可以沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到圖中的F點(diǎn)？

典型錯(cuò)解假設(shè)小球剛好能到達(dá)F點(diǎn)，到F點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的彈力為零，此時(shí)

對(duì)從A點(diǎn)開(kāi)始到F點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程由動(dòng)能定理得

此錯(cuò)解錯(cuò)就錯(cuò)在沒(méi)能正確地分析出小球的運(yùn)動(dòng)情況。事實(shí)上當(dāng)L=5R/2時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)將脫離圓軌道。

分析與解若把重力和電場(chǎng)力等效為一個(gè)等效重力G_等，由題設(shè)，知：G_等=2mg方向與豎直方向成45°角斜向下。如圖4中BC的中點(diǎn)為等效最低點(diǎn)，DF的中點(diǎn)H為等效最高點(diǎn)，類比重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件可知，H點(diǎn)是最易離軌的一點(diǎn)，小球能通過(guò)H點(diǎn)就能沿圓軌道到達(dá)F點(diǎn)，小球恰能通過(guò)H點(diǎn)的條件為

對(duì)小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至H點(diǎn)的過(guò)程由動(dòng)能定理得：

4結(jié)合運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法分析

對(duì)比較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)的分析，應(yīng)注意把運(yùn)動(dòng)的合成與分解的規(guī)律與運(yùn)動(dòng)和力的基本關(guān)系結(jié)合起來(lái)。

例4如圖5所示，在水平面上豎直放置一長(zhǎng)為h/2的細(xì)管，管口上方有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，從距地面h高處，水平拋出質(zhì)量為m，帶正電且?guī)щ娏繛閝的小球，拋出點(diǎn)到細(xì)管管口的水平距離為L(zhǎng)，要使小球恰好落入管口，且無(wú)碰撞地通過(guò)管子到達(dá)地面（管的內(nèi)徑略大于球的直徑），求拋出小球的初速度v₀、勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E及小球落地速度v。

分析與解要使小球恰好落入管口，且無(wú)碰撞地通過(guò)管子，即要求小球到達(dá)管口時(shí)，速度沿豎直方向。對(duì)從拋出至到達(dá)管口的過(guò)程，在水平方向上，由于受水平的電場(chǎng)力作用做勻減速運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上，由于受重力作用，且開(kāi)始豎直分速度為0，故做自由落體運(yùn)動(dòng)。

5借助守恒定律輔助分析

例５如圖６所示，在光滑水平面上停放的質(zhì)量為m₂的物體B，在它的左端連接一輕質(zhì)彈簧，有一質(zhì)量為m₁的物體A以速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻開(kāi)始接觸并壓縮彈簧。已知m₁＜m₂。求物體A接觸彈簧的過(guò)程中的最小速度。

分析與解在彈簧從原長(zhǎng)到壓縮至最短長(zhǎng)度時(shí)，B在彈簧彈力的作用下，由靜止開(kāi)始向右加速，A在彈簧彈力作用下向右減速，當(dāng)彈簧壓縮到最短長(zhǎng)度時(shí)，兩物體A、B速度相同，速度方向向右；在彈簧由最短長(zhǎng)度至恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，B在彈簧彈力作用下，繼續(xù)向右加速，A將繼續(xù)減速，但A的速度能否減為零？?jī)H靠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系定性分析是無(wú)法確定的，這時(shí)我們可借助守恒定律輔助分析。對(duì)A從接觸彈簧到彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)與A脫離的整個(gè)過(guò)程有（設(shè)彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度分別為v₁和v₂）

由已知條件m₁＜m₂，知v₁與v₀反向，即彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A的速度向左，這表明在彈簧從最大壓縮量到恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，A經(jīng)歷了先向右做減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后再向左加速的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。由此可見(jiàn)物體A接觸彈簧的過(guò)程中的最小速度為0。

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