例析用圓心軌跡確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)區(qū)域問(wèn)題

同種帶電粒子從同一點(diǎn)以相同速率、沿不同方向進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，粒子可能達(dá)到的區(qū)域的確定是教學(xué)中常遇，學(xué)生感到棘手，高考又考查的問(wèn)題。現(xiàn)就此類問(wèn)題舉例分析。

題目1（2005年全國(guó)高考） 如圖1，在一水平放置的平板MN的上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，許多質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子，以相同的速率v₀沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。圖2中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其中r=mv₀/Bq，哪個(gè)圖是正確的（ ）

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析與解 依據(jù)題意，所有帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同r=mv₀/Bq。 所以，在紙面內(nèi)由O點(diǎn)沿不同方向入射的帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡是以O(shè)為圓心，r為半徑的圓周（A圖中虛線圓示）。又因?yàn)閹щ娏Ｗ訋д姟⑦M(jìn)磁場(chǎng)時(shí)只分布在以O(shè)N和OM為邊界的上方空間，而向心力由洛侖茲力提供，它既指向圓心又始終垂直速度，可確定：圓心軌跡只能是A圖中虛線圓直徑分隔的左半邊虛線圓周；再以A圖中左半虛線圓上各點(diǎn)為圓心、以r為半徑作圓，圓周在磁場(chǎng)中所能達(dá)到的區(qū)域應(yīng)為A圖陰影區(qū)。所以A圖正確。

題目2 如圖3所示，有許多電子（每個(gè)電子的質(zhì)量為m ，電量為e）在xOy平面內(nèi)從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷地以相同大小的速度v₀沿不同方向射入第一象限。現(xiàn)加上一個(gè)方向向里垂直于xOy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)該磁場(chǎng)后都能平行于x軸并向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)。試求符合該條件的磁場(chǎng)的最小面積。

析與解 因?yàn)樗须娮佣荚趧驈?qiáng)磁場(chǎng)中作半徑為r=mv₀/Be的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。而沿y軸的正方向射入的邊緣電子需轉(zhuǎn)過(guò)1/4圓周才能沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，它的軌跡應(yīng)為所求最小面積磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界——如圖中弧線a，其圓心在垂直入射速度的x軸上O₁(r ， 0)。

現(xiàn)設(shè)沿與x軸成任意角α（0＜α＜90°）射入的電子在動(dòng)點(diǎn)p離開(kāi)磁場(chǎng)。 這些從O點(diǎn)沿不同方向入射的電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O′到入射點(diǎn)O的距離又都為半徑r。 所以，O′ 形成一個(gè)以入射點(diǎn)O（即坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、r為半徑的1/4圓弧軌跡——如圖3中弧線c。 根據(jù)題目要求，各電子射出磁場(chǎng)時(shí)速度v要為平行x軸的正方向。故由做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的圓心又應(yīng)在垂直出射速度的直線上可知，從不同點(diǎn)p射出的電子的圓心O′ 又必在對(duì)應(yīng)出射點(diǎn)p的正下方， 即曲線c上各點(diǎn)到對(duì)應(yīng)正上方出射點(diǎn)p的距離也都等于r；因此將1/4圓弧軌跡c沿y 軸正向平移距離r后——如圖中弧線b，弧線b就是各出射點(diǎn)p的軌跡，它實(shí)際是以O(shè)₂(0 ， r)為圓心，半徑為r的1/4圓弧；.既然點(diǎn)p是出射點(diǎn)--即磁場(chǎng)的下邊界，故弧線b應(yīng)為所求最小面積磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。 所以，所求面積為圖中弧線a與b所圍陰影面積。

由幾何得： 

(欄目編輯陳 潔)

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