渦旋電場中的電動勢與電勢差

摘 要：如何比較渦旋電場中各點電勢的高低，這是一個讓很多同學(xué)感到困惑的問題。本文通過對比討論渦旋電場中的電動勢和電勢差來解釋這一問題。

關(guān)鍵詞：渦旋電場；電動勢；電勢差

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2007)8(S)-0036-3

1 一個佯謬

我們知道，磁感線是閉合的，它在磁體外部總是由N極指向S極，在磁體內(nèi)部又從S極指回N極。與磁感線不同，靜電場的電場線是不閉合的，它始于正電荷（或無窮遠），終于負電荷（或無窮遠），沿著電場線電勢降低。

不過，并不是所有電場的電場線都不閉合。麥克斯韋從場的觀點研究了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，認為變化的電路里能產(chǎn)生感應(yīng)電流，是因為變化的電場感應(yīng)產(chǎn)生一個變化的磁場，而變化的磁場又產(chǎn)生了一個電場，這個電場驅(qū)使導(dǎo)體中的自由電荷做定向的移動。麥克斯韋還把這種用場來描述電磁感應(yīng)現(xiàn)象的觀點，推廣到不存在閉合電路的情形。他認為，在變化的磁場周圍產(chǎn)生電場，是一種普遍存在的現(xiàn)象，跟閉合電路是否存在無關(guān)（如圖1）。這種在變化的磁場周圍產(chǎn)生的電場，叫做感應(yīng)電場或渦旋電場。與靜電場不同，渦旋電場的電場線是閉合的。根據(jù)麥克斯韋理論，如果磁場的磁感應(yīng)強度B是隨時間均勻變化的，那么，它所產(chǎn)生的電場是恒定的。為簡單起見，我們下面僅討論這樣的恒定的渦旋電場。



由于電場線是閉合的，這樣就產(chǎn)生一個佯謬，即無法確定渦旋電場電場線上某兩點電勢的高低。如圖2，在渦旋電場電場線上的三點A、B、C，設(shè)它們電勢分別為φ_A、φ_B、φ_C，沿著電場線方向從A到B，電勢降低，故φ_B〈φ_A，再沿著電場線方向從B到C，電勢繼續(xù)降低，故φ_C〈φ_B，同理可得，φ_A〈φ_C，即φ_A〈φ_C〈φ_B，這顯然是與前面的φ_B〈φ_A自相矛盾。



要解釋這一矛盾，必須先明確渦旋電場與靜電場的區(qū)別。

2 渦旋電場與靜電場

靜電場是保守場（或叫位場），它的電場線是不閉合的，可以證明，試探電荷在任何靜電場中移動時，電場力所做的功，只與試探電荷電量的大小及其起點、終點的位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。用公式表為：

即靜電場中沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于0。這一定理常常被叫做靜電場的環(huán)路定理。

而渦旋電場的電場線是閉合的，它不是保守場，

在渦旋電場中移動試探電荷時，電場力所做的功與路徑有關(guān)。既然如此，在渦旋電場就沒有電勢能（位能）這一概念，同樣也無法引入電勢這一概念，也就自然沒有電勢高低之說了。所以，前面關(guān)于A、B、C三點電勢高低的比較其實是無從談起的。

3 電勢差與電動勢

盡管在渦旋電場中無法引入電勢、電勢差的概念，不過這里倒可以引入電動勢的概念。下面，先來談?wù)勲妱莶钆c電動勢的區(qū)別。

電勢差是指在靜電場中，把單位正電荷從A點沿任意路徑移動到B點靜電力所做的功，它的定義為

它是描寫靜電場本身性質(zhì)的物理量，在靜電場中確定的兩點的電勢差是一定的，與電勢參考點的選取無關(guān)。在渦旋電場中，試探電荷受到的電場力是非靜電力，在移動試探電荷的過程中沒有靜電力做功，當(dāng)然也就沒有電勢差這一說法了。

電動勢表示把單位正電荷從電源負極通過電源內(nèi)部移到電源正極時非靜電力K所做的功，它的定義

它反映電源中非靜電力做功的本領(lǐng)，是描寫電源本身性質(zhì)的物理量。電源一定，電動勢就一定，與外電路的性質(zhì)及電路是否接通沒有關(guān)系。在渦旋電場中將試探電荷q沿電場線移動一周，非靜電力K所做的功為

所以得到：感生電動勢為

4 電勢差與電動勢的計算

可能有人會問，既然在渦旋電場中可以引入電動勢的的概念，那么，任意兩點間的電動勢是不是可以求呢？比如，可不可求前面圖2中A、B兩點間的電動勢呢？

提出上述問題的同學(xué)還是沒有真正理解電動勢和電勢差的區(qū)別。

電動勢的定義式

中，非靜電力K所做的功W_k是與路徑有關(guān)的，所以在沒有說明路徑的情況下，無法求出非靜電力的功，自然也就沒有辦法確定電動勢了。

有意思的是，在渦旋電場中鋪設(shè)導(dǎo)線后，導(dǎo)線中的自由電荷在渦旋電場非靜電力的搬運下，會在導(dǎo)線中重新分布，直至達到動態(tài)平衡。導(dǎo)線中重新分布的電荷又會在自己周圍產(chǎn)生靜電場，這樣，再移動電荷時，電荷還會受靜電力作用，靜電力做功必定對應(yīng)著電勢能的變化，于是，就又有了電勢和電勢差的概念了。實際上，根據(jù)閉合電路歐姆定律，我們知道當(dāng)導(dǎo)線（相當(dāng)于電源）不閉合時，其兩端的電勢差（即路端電壓）就等于電源電動勢。也就是說，上面所討論的三種情況下，導(dǎo)線兩端的電勢差 的大小分別為Eθr、E(2π-θ)r和0。

那么，如果電路是閉合的，又會怎么樣呢？

如果在圖3中，沿著電場線鋪設(shè)一個均勻的細圓環(huán)，其電阻為R，則圓環(huán)上兩點A、B之間的電勢差為多大呢？

由閉合電路歐姆定律，

為了更好地理解這一結(jié)果，我們再來看一個類似的問題。

如圖4所示，八個完全相同的電池依次首尾相接后，用一電壓表測量圖中a、b兩點的電壓，已知每個電池的電動勢為ε，內(nèi)阻為r，電壓表理想，對電路的影響不計，則電壓表的讀數(shù)為多大？

此題的答案為0。因為，由于對稱性，對于每一個電池，從其負極到正極，由于電源電動勢而抬高的電勢和由于電池內(nèi)阻沿著電流方向降落的電勢必相等。

其實，在這一問題中，即使電壓表不是理想的，其讀數(shù)也為0。證明如下：

設(shè)電壓表內(nèi)阻為R_V，并設(shè)圖中各支路的電流方向如圖5所示，電流的大小分別為I₁，I₂，I₃。對I₁，I₂，I₃流經(jīng)的三個支路分別用歐姆定律，有

由以上各式，可解得，I₁= 0。所以電壓表內(nèi)阻上的電勢降I₁R_V=0，即電壓表讀數(shù)為0。

有趣的是，在前面提到的電磁感應(yīng)電路中，盡管A、B間的電勢差為0，但如果也用電壓表去測量，則電壓表的示數(shù)卻不一定為零。這是為什么呢？讓我們一起來探討這一問題。

如圖6（a），若把電壓表放在圓環(huán)中心處，連接用的導(dǎo)線沿圓環(huán)的半徑，這時電壓表的讀數(shù)如何？



如前所述，如果把電壓表放在圓環(huán)中心處，電壓表所在的這一支路感生電動勢為零，相當(dāng)于外電路。與前一題一樣，設(shè)電壓表內(nèi)阻為R_V，并設(shè)圖中各支路的電流方向如圖6（b）所示，電流的大小分別為I₁，I₂，I₃。對I₁，I₂，I₃流經(jīng)的三個支路分別用歐姆定律，有

由以上各式，同樣可解得，I₁=0。所以電壓表內(nèi)阻上的電勢降I₁R_V=0，即電壓表讀數(shù)為0。這一求解過程和結(jié)果與上一題并無不同。

但是，如果把電壓表放在AB弦的中點處，連接用的導(dǎo)線沿著此弦，如圖7（a）所示，則此時電壓表的讀數(shù)又為多少？

反思這一現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)，電壓表放置情形不同，讀數(shù)也就不同的原因是：電壓表所在支路可能也有感生電動勢，不能簡單地將其看作外電路。這其實也再一次說明，電動勢與電勢差不同，它不只取決于始末兩個位置，還與實際路徑相關(guān)，導(dǎo)線鋪設(shè)的情形不同，其兩端的電動勢也就可能不同。

參考文獻：

［1］全日制普通高級中學(xué)教科書（必修加選修）物理第二冊.人民教育出版社.2003

［2］趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué).高等教育出版社.1985

（欄目編輯羅琬華）

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