矢量加法和空間的幾何性質

在“追溯‘力的平行四邊形定則’的由來”一文（刊于今年第三期）中，筆者曾寫道“包括拉普拉斯、茹可夫斯基……等眾多力學家在內，都花了許多時間來爭論：‘這個法則究竟是一個數(shù)學定理，還是一個勿需證明的經驗法則或常識？’”進一步研究發(fā)現(xiàn)，這個問題其實早在19世紀下半葉黎曼幾何創(chuàng)立的過程中就已經得到了解決。由于涉及到空間的幾何性質，且囿于學科壁壘，當年的大家們無由解惑，抱憾綿綿。本文在回顧伽俐略用幾何法對運動疊加的研究的基礎上，簡介工業(yè)革命和數(shù)學對矢量理論確立的決定性作用，最后從物體在黎曼的橢圓幾何空間運動的不可對易性入手，論證了力的平行四邊形定則的成立條件。

1 伽俐略的貢獻

矢量加法（合成）的基本法則有四種：平行四邊形法、三角形法、多邊形法和正交分解法。從物理本質看，它們是同一種方法的不同呈現(xiàn)形式，其中，平行四邊形法最直觀，三角形法是基礎。在物理學發(fā)展史上，伽利略首先用三角形法研究運動合成問題的濫觴。

伽俐略在《關于兩門新科學的對話》的“定理2，命題2”中詮釋道：一個物體同時被兩個勻速運動所推動，cb和ba分別表示在相同時間間隔內的水平位移和垂直位移（圖1），那么，被這兩個運動推動的物體描繪出的軌跡是對角線ca，有ca²=cb²+ba²，即合位移的平方等于兩個分位移的平方和。在這里，伽利略首開了用幾何法研究運動疊加問題的先河。他是依靠思辨與實驗相互印證、相互補充，才得出這個結論的。

矢量及其合成的概念萌芽于二千多年前，但是矢量理論的建立卻是十九世紀的事。其時正是歐洲進入和深化工業(yè)革命的時代，大功率的蒸汽動力機、快速運轉的多軸紡車、各種傳動裝置的出現(xiàn)，使“力”、“速度”、“加速度”、“位移”等既含有“大小”又含有“方向” 要素的量的使用率越來越高。在隨之而來的對連桿、曲軸和工件的平動、轉動和進動等復雜運動的研究過程中，運動疊加（合成）原理得到精準的體現(xiàn)和驗證，運動的獨立性、等時性和矢量性原理也被深刻地揭示。與此同時，矢量理論的數(shù)學探討也提上了議事日程。挪威數(shù)學家維塞爾和英國著名數(shù)理學家哈密頓等人用矢量來解說復數(shù)，從而使復數(shù)走向實際；又用復數(shù)來描述矢量，讓矢量代數(shù)化，最終奠定了矢量理論基礎，也使力的平行四邊形定則為人類的理性所服膺。

2 力的平行四邊形定則和空間的幾何性質

力的平行四邊形定則，更一般地說，矢量加法的基本規(guī)律及其結果與相加的次序是否有關，決定性地依賴于所處空間的幾何性質。如果空間遵守歐幾里得幾何學的規(guī)律，即如那本流行暢銷書的書名所云“這世界是平的”（The world is flat），那么就一切順暢，平行四邊形法、三角形法和正交分解法，愛用哪個用哪個，愛怎么用就怎么用，完全不受次序的限制。如果是黎曼的橢圓幾何空間(三角形內角和＞π)，情況就起變化了。

如圖2，從地球赤道上一點A向東移1600km到B，接著向北移1600km到C，并不同于兩個次序相反的同等位移A-D-E（AD和DE仍是在兩正交的大圓周上），它們的終點C、E兩點相差近64km(可用球面余弦公式計算)！也就是說，如果位移的幅度比起球的半徑不算小的話，在一球面上的位移是不能對易的。這就意味著包括力的平行四邊形定則在內矢量加法的正確性，是一個實驗問題（幾何學本來就是一門實驗科學），測試出來的偏離，可以用來推斷有關我們在其中操作的空間的幾何性質。

總之，涵蓋了力的平行四邊形定則在內的矢量及其運算規(guī)律并不是憑空產生的，它是由人們生活、生產中時刻遇到的那些經驗、知識不斷地抽象、升華、提煉而成的，從而具有廣泛的應用性。我們不能脫離空間特性獨立定義矢量。實際上，空間矢量正是由空間定義直接給出的。平行四邊形定則只是在空間各向同性的前提下，適用于那些滿足獨立作用原理的、可定義大小、方向的量。

參考文獻：

［1］伽俐略著，武際可譯.關于兩門新科學的對話.［意］ 北京：北京大學出版社，2006.6：238~239．

［2］I．С．庫德里亞夫采夫等著，梁坑等譯.物理學史與科技史.［蘇］［J］.黑龍江教育出版社，1985．9 ．

［3］弗倫奇著，郭敦仁，何成鈞譯.牛頓力學.［美］．北京：人民教育出版社，1978．12：275-59．

［4］李德明，陳昌明著.經典力學１.北京：高等教育出版社，2006．5：254-256．

(欄目編輯趙保鋼)