矢量加法和空間的幾何性質(zhì)

在“追溯‘力的平行四邊形定則’的由來”一文（刊于今年第三期）中，筆者曾寫道“包括拉普拉斯、茹可夫斯基……等眾多力學(xué)家在內(nèi)，都花了許多時(shí)間來爭(zhēng)論：‘這個(gè)法則究竟是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，還是一個(gè)勿需證明的經(jīng)驗(yàn)法則或常識(shí)？’”進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題其實(shí)早在19世紀(jì)下半葉黎曼幾何創(chuàng)立的過程中就已經(jīng)得到了解決。由于涉及到空間的幾何性質(zhì)，且囿于學(xué)科壁壘，當(dāng)年的大家們無由解惑，抱憾綿綿。本文在回顧伽俐略用幾何法對(duì)運(yùn)動(dòng)疊加的研究的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)介工業(yè)革命和數(shù)學(xué)對(duì)矢量理論確立的決定性作用，最后從物體在黎曼的橢圓幾何空間運(yùn)動(dòng)的不可對(duì)易性入手，論證了力的平行四邊形定則的成立條件。

1 伽俐略的貢獻(xiàn)

矢量加法（合成）的基本法則有四種：平行四邊形法、三角形法、多邊形法和正交分解法。從物理本質(zhì)看，它們是同一種方法的不同呈現(xiàn)形式，其中，平行四邊形法最直觀，三角形法是基礎(chǔ)。在物理學(xué)發(fā)展史上，伽利略首先用三角形法研究運(yùn)動(dòng)合成問題的濫觴。

伽俐略在《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》的“定理2，命題2”中詮釋道：一個(gè)物體同時(shí)被兩個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)所推動(dòng)，cb和ba分別表示在相同時(shí)間間隔內(nèi)的水平位移和垂直位移（圖1），那么，被這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)推動(dòng)的物體描繪出的軌跡是對(duì)角線ca，有ca²=cb²+ba²，即合位移的平方等于兩個(gè)分位移的平方和。在這里，伽利略首開了用幾何法研究運(yùn)動(dòng)疊加問題的先河。他是依靠思辨與實(shí)驗(yàn)相互印證、相互補(bǔ)充，才得出這個(gè)結(jié)論的。