都是虛擬建模惹的禍

我們學校是九年一貫制的學校，今年上半年學校為了研究小學與初中教學的銜接問題，讓我上了一節小學教材的課，課程內容是北師大版六年級下冊《分期付款》。這一內容安排在《數學與社區》單元，其目的是使學生綜合運用自己學過的知識，通過與社區相關問題的解決，培養分析問題和解決問題的能力；進一步使學生體會數學與生活的關系，培養學生應用數學的意識。然而，在實施教學時出現了意想不到的情況。

教材中的例題：村里要建兩個養魚池，準備以貸款的方式從銀行借2萬元。兩年后，養魚場開始賣魚，再用賣魚收入還清貸款。償還貸款的方式有以下兩種。方案一是：三年后一次還清2萬元，但要付利息5％。共需還款多少元?方案二是：兩年后每年還款5000元，四年還清，年利息依次為3％，5％，5.5％，6％。分別計算每次應付的利息額和本息款以及共還貸款(含利息)額。

這個問題對學生來說沒有計算上太大的困難，據此，在學習時，我把教學重點放在體會分期付款的含義以及分期付款策略多樣化(擇優)并能夠按要求進行計算上。教學即將結束，一個學生(其父母在銀行供職)站了起來：“老師，我認為例題中的方案是虛假的。”“假的?”“銀行里根本就沒有這樣的貸款，而且這里計算利息的方法也有問題。”此時，全班的同學都靜了下來，期待著他進一步的解釋。我在備課時也曾考慮過有關問題：例題中的方案一所描述的“三年后一次還清本金，但要付利息5％”，這個5％，到底指的是“年利率”還是“三年的總利率”?而且“要付利息5％”的說法也不夠準確，正確說法應是“按5％的(年)利率支付利息”。方案二中的“分四次還款但均不按借貸總額計付利息來計算”與現實銀行借貸計息方式不符。在進行教學預設的時候，我認為這僅僅是課本有意設置的一個虛擬的數學模型，作為教師只要引領學生掌握這一虛擬數學建模中的知識，了解數學建模的過程及其數學結構即可，沒有想到學生卻不認同。我問學生：“那你的看法是什么?”“我理解的方案一是借貸三年，年利率是5％，那么三年后一次應還的本息額是：20000＋20000×5％×3，而不應是書中說的20000＋20000×5％；方案二中分期付款每次支付利息應按借貸總額來計算，否則，哪里有這么便宜的好事呀?”

聽了學生的質疑，我意識到這是課本文中的虛擬數學建模出了問題，原因就是編者意圖建立的數學模型與現實生活有明顯不符，與學生的認知有嚴重沖突，難怪學生會認為“是虛假的”。記得出現這一類性質的問題也已經不是第一次了，例如在一次統計圖表的復習課上，一位教師選擇課本中的題目讓大家分析數據信息：

某外貿鞋業集團第一季度生產皮鞋情況如下：1月份計劃生產600萬雙，實際生產900萬雙；2月份計劃生產500萬雙，實際生產560萬雙；3月份計劃生產480萬雙，實際生產450萬雙。

許多學生通過分析數據表達了自己的想法。“老師!我!我!”一位學生一直把手舉得高高的，授課教師只好叫他說說自己的想法。他說：“老師，這個集團的領導是不是有病，要不就是假的。”聽了他的話，學生大笑。教師問他為什么，他說：“你看，首先是計劃不合理。2月份是我國的春節，要放假的，計劃生產比3月份還要多，實際生產2月份就更比3月份多了。難道他們春節也不放假嗎?所以我認為這些數據有可能是假的。”又一個“虛假的”!暫且不論學生的分析是否完全合理，但有一點是明確的，那就是課本中的數學模型與學生的認知出現了分歧，不利于學生學習和建構新知。

由此，我們面臨著一個不能回避的問題：怎樣面對課本中的數學建模?

通過查閱相關資料得知，所謂“數學建模(MathemticadclModelling)”，就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。數學建模思想的教學滲透順應了當前新課程標準教學改革的需要，通過建模體現的“數學生活化”是新一輪數學課程改革中的一個重要理念，它強調“從學生的已有經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”。由此可見，建模是十分必要的，但建模必須是“基于學生的”。

至于課本中為什么會出現與現實生活不符的“虛擬數學建模”(學生認定是虛假的)，我想，這應該是課本主編要考究的問題。作為課程實施者的教師，在課本中出現“虛擬數學建模”時，應該怎么辦?筆者認為：

首先，教師應該深入鉆研教材，解讀文本，充分了解編者意圖，了解數學建模的背景。與學生共同了解問題的實際意義，掌握對象的各種信息，用數學語言來描述問題。

其次，尊重學生，對虛擬模型進行重構。引導學生根據實際對象的特征和建模的目的，對模型的所有參數做出計算(估計)，在此基礎上對所得的結果進行分析，然后將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性，以使模型與實際較吻合。要盡量使學生的獨特體驗與課本的價值取向取得一致，教師可結合當地社會發展的實際情況，對一些問題情境作適當調整，但要注意力求保持問題的數學實質不改變，這是對課本的豐富和發展。