帶電粒子在磁場運動中的難點分析
2007-12-31 00:00:00王勇朱崇偉
物理教學探討 2007年23期
帶電粒子在磁場中的運動是高考的一大熱點。究其原因是因為能很好地考查學生分析問題和綜合運用知識的能力，特別是能很強地考查運用數學知識解決物理問題的能力。但學生在處理這部分問題時，常遇到不少困難。下面就幾個主要的難點方面進行分析。
1 圓心難找
無論是求解時間還是求解半徑，往往需要先把圓心確定之后才能往下進行作圖分析，運用相關物理知識和數學知識進行求解。比較簡單的題目圓心很明確，稍難些的題目圓心就不容易確定。在明確磁場邊界的情況下，往往可通過粒子進入和離開磁場時速度的垂線來定圓心。
例1 如圖1所示，一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度大小可變，方向垂直紙面向里的磁場，現從矩形區域ad邊的中點O處，垂直磁場射入一速度大小為v0，方向跟ad邊夾角α=30°的帶電粒子，已知粒子的質量為m，電荷量為q，ad邊長為L，ab足夠長，重力忽略不計。求：
(1)粒子能從ab邊射出所加的最小磁感應強度；
(2)這時粒子在磁場中運動的時間。
解析 當軌跡圓與cd邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最大的情況，如圖2所示。
作入射速度v0和在切點Q處直線cd的垂線，交于O′點如圖3所示。過O點作v0的垂線，由題意知∠O O′Q=60°。設粒子運動的最大半徑為R，則應有R=L。
由于O′Q⊥cd，ab和cd間的距離為L，所以O′點落在直線ab上。正確示意圖如圖4所示。
2 邊界難定
大量帶電粒子從不同方向發射，穿過某一磁場區域或打到某一板上，如何確定邊界點是又一難點。
粒子初速度方向不同，軌跡圓的圓心不同，但這些圓都經過S點。現在來作動態軌跡圓。
（1）以S為圓心，R=0.4m為半徑作圓，得到動態軌跡圓的圓心軌跡。如圖6中的T。
（2）再以T上各點為圓心，R為半徑作出一系列的軌跡圓，如圖6中的1、2、3、4、5、6。其中實線代表α粒子在磁場中的可能軌跡。通過所畫出的動態圓不難發現α粒子從bb′側出射時的最高點Q恰與磁場右邊界相切的情形，如圖6中的5。從bb′線上出射的最低點P為沿aa′方向射出的粒子，其軌跡圓恰好與磁場左邊界aa′相切，如圖6中的1。
設磁場右邊界與S正對點為B。則粒子從磁場右邊界bb′穿出的范圍為圖中PQ長度，如圖7所示。
由S點和出射處P點找到的圓心設為O1，由S點和出射處Q點找到的圓心設為O2，則可由幾何關系有：
點評 在畫半徑不變，圓心變動的動態圓時，首先明確以S為圓心，以粒子在磁場中運動的半徑為半徑畫出動態圓圓心的軌跡；其次是注意選取幾個點畫動態圓，通過所畫的動態圓能洞悉粒子打到板上的上、下或左、右最遠點。注意分析最遠點是否是直徑的另一端和相切情形，有些題目最遠點并不一定是直線的另一端。
遷移與創新
2．S為電子源，它只能在圖8所示紙面上360°范圍內發射速率相同、質量為m、電量為e的電子。MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為OS=L；擋板左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。若電子發射的速度為v=eBLm，則擋板被擊中的范圍多大?
3 情景模糊
若磁場未給出，粒子如何運動其情景比較模糊，粒子在磁場運動軌跡如何是需要進行仔細分析和推斷的，這對許多同學來說又是一大難點。如何突破呢?
例1 (1994全國考題)如圖9所示，一帶電質點，質量為m、電量為q，以平行于x軸的速度v從y軸的a點射入圖中第一象限所示的區域。為了使質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求這個圓形磁場區域的最小半徑。重力忽略不計。
解析 質量為m、帶電量為q的質點垂直射入磁感應強度為B的勻強磁場，要受洛倫茲力作用而做勻速圓周運動。設此圓半徑為R，則有
根據題意，帶電質點從a射入與從b射出的兩個速度方向垂直，這表明質點在磁場中偏轉了90°，即質點在磁場區域中的軌道應是半徑為R的圓周的14圓弧。圓弧應于入射和出射方向相切。此段圓弧可用作圖確定。
過a作與x軸平行的直線，過b作與y軸平行的直線，兩直線的交點為O′，如圖10所示。由切線定理可知，粒子入、出磁場的位置M、N到O′，點的距離必定相等。由于半徑與速度方向垂直，可作出離子圓周運動的圓心O。則由此可畫出過MN兩點的圓弧MN。
要求的最小磁場區域應是以M、N兩點為直徑的圓。故所求的磁場區域的最小半徑為
點評 通過上面的分析和解答可以看出問題的關鍵是確定出入兩點的位置。分析中用到了切線定理，使得比較抽象的問題化為較為直觀的情景。
遷移與創新
3．一質量為m、帶電量為q的粒子以速度v0從O點沿y軸的正方向射入磁感應強度為B的一圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正向夾角30°，如圖11所示。粒子的重力不計。試求：
(1)圓形磁場區域的最小面積；
(2)若粒子從O點就進入磁場區域，到達b點所經歷的時間。
4 想象不出正確的立體情景
例4 如圖12所示，一質量為m、電荷量為q的靜止帶電粒子，經電壓U加速之后，射入與其運動方向一致的磁感應強度為B的勻強磁場中，在途中與一硬質薄塑料平板發生無動能損失的碰撞，碰后速度方向變為豎直向上，最后粒子運動到C板，已知平板與水平方向成45°角，AC=s，求粒子從A板運動到C板所用的時間。
析與解 對粒子在電場中加速的過程中，由動能定理有
粒子進入磁場后，由于速度v的方向平行于磁場方向，所以粒子做勻速直線運動，途中與塑料板發生碰撞，碰撞 后速度方向豎直向上，這樣粒子將受到洛倫茲力作用，在垂直于磁場方向的平面內做勻速圓周運動，一周后又與塑料板的反面發生無能量損失的碰撞，碰后粒子沿B的方向做勻速直線運動到C板，如圖13所示。故粒子從A板運動到C板的時間為
點評 許多同學搞不清粒子在磁場中作怎樣的運動，因而無法對題目進行破解。如果能夠根據粒子與板左側碰后運動方向，從而確定受力方向和圓心位置，規范畫出粒子跟板左側碰后所作的圓周運動，此題便可迎刃而解。
遷移與創新
4．如圖14所示，在A、B之間有2n塊硬質塑料板(不導電，厚度不計)互成直角如圖14所示。質量為m的質子從A板上的P點對著硬質板的中點水平射入A、B之間，初速度為v0，由于A、B間有水平向右的勻強磁場，使得質子最后都垂直從B穿出(所在碰撞均無機械能的損失)，為了滿足要求，試求質子從A到B的運動時間。
(欄目編輯陳 潔)
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
