“振動型彈簧類復雜問題”的特點及化解策略
2007-12-31 00:00:00徐杰
物理教學探討 2007年23期
摘要：在對振動型彈簧類復雜問題進行界定的基礎上，揭示了這類綜合性問題的本質特征和導致其復雜的根本原因，提出了以畫振子關鍵位置示意圖為核心的化解此類難題的有效策略，并通過兩個案例的分析，說明了解題策略的具體應用。
關鍵詞：振動型彈簧類復雜的問題；彈簧振子；高考壓軸題；解題策略；位置示意圖
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2007)12(S)-0024-3
1 振動型彈簧類復雜問題的界定和特點
所謂振動型彈簧類復雜問題，是指以輕彈簧為載體連接若干物體，以彈簧的一端或與之相連的某一物體為固定端，給系統輸入一定的能量后，研究系統運動或振動規律的一類復雜問題。此類問題可以綜合考查學生對力、物體的平衡、牛頓定律、動量守恒以及能的轉化與守恒等物理學主干知識的理解和掌握情況，更重要的是能考查學生的理解能力、分析推理能力、運用所學知識分析和解決問題的能力，因而經常成為高考命題的重點，而且大都設置為壓軸題。例如1997年全國卷第25題、2004年廣東綜合卷第17題、2005年全國理綜（晉豫冀皖閩浙等省）第24題等。因此，研究這類問題的本質特征，尋找一套較為有效的解決方法，對培養學生的思維能力、深刻體會物理學的研究方法具有重要的價值。
振動型彈簧類復雜問題的特點是命題起點是基于彈簧振子模型。通常通過設置碰撞作用、破壞平衡狀態、隱含臨界狀態、改變初始條件等方法將簡潔的彈簧振子模型演化為外延拓展、內涵豐富的復雜問題。分析其復雜性成因，發現這類問題的難度系數是由彈簧的兩大動態特點所決定的：一是從力的角度看，彈簧發生形變產生彈力，彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的變力；二是從能的角度看，彈簧發生形變便具有了彈性勢能，而伴隨著形變量的變化，彈性勢能發生變化，從而實現能量的存儲與轉化。所以，以彈簧為核心的系統因力和能的雙重變化，導致了這類問題具有極強的綜合性和較大的難度。
2 振動型彈簧類復雜問題的化解策略
如何化解難點，解決這類難題？通過對大量的振動型彈簧類壓軸問題的研究，我們總結出基于彈簧振子解決問題的“三步曲”策略，經教學實踐證明，是一種有效的解題方法。
2.1 明確研究對象，建構彈簧振子模型
振動型彈簧類復雜問題源于彈簧振子模型，因此，在審題時，要能合理選擇研究對象，分析導致振動的原因，看穿整個系統的振動本性，從宏觀上抽象出彈簧振子模型。
2.2 勾畫位置示意，標明關鍵位置和狀態，確定力、位移、加速度等狀態量
在明確研究對象后，分析運動過程，畫出特殊或關鍵的位置示意圖，這是解決問題最重要的步驟。必須標出的特殊位置主要指物體的初始位置、振子的平衡位置以及振子的最大位移位置，以此確定振動物體在這些位置的力、位移、加速度等重要狀態量，同時，從示意圖上尋找彈簧的形變量與物體的位移之間的幾何關系，直觀地選擇物理運動過程，從而為列方程解題作好鋪墊。
2.3 選擇狀態過程，運用牛頓定律、能量轉化和守恒定律列式求解
一旦系統起振，系統的總能量就不斷地進行轉化和分配。若無電場力、摩擦力作用，則系統的機械能守恒。因此，科學合理地選擇研究過程或狀態，依據能量轉化和守恒定律或牛頓運動定律列方程便成為解題的關鍵步驟。這一步驟需要準確把握始、末狀態所決定的過程和對應的規律。
3 兩個典型案例分析
案例1 如圖1所示，一輕質彈簧下端固定在水平地面上，上端與物體A連接，物體A又與一跨過定滑輪的不可伸長的輕繩一端相連，繩另一端懸掛著物體B，B的下面又掛著物體C，且A、B、C均處于靜止狀態。現剪斷B和C之間的繩子，則A和B將做簡諧運動。已知物體A質量為3m，B和C質量均為2m，A和B振動的振幅為d。試求：
（1）物體A振動的最大速度。（2）振動過程中，繩對物體B的最大拉力和最小拉力。
解析 （1）明確研究對象。
本題振子由物體A和B組成，起振方式是讓物體C脫離系統，破壞了A和B系統的平衡，導致振子受力不平衡，因此，A和B做簡諧運動。
（2）勾畫位置示意。
A、B的振動狀態完全一致，畫出它們的平衡位置、最低位置和最高位置如圖2所示，同時對物體B，還標出其在兩個極限位置的加速度的方向。
（3）選擇狀態過程
當A運動到平衡位置時，A具有振動的最大速度，因此，要求A的最大速度，應選擇振子從起振到平衡位置這一過程，應用機械能守恒定律來研究，其中的關鍵是確定始、末狀態的彈性勢能的關系。通過分析這兩個位置振子的受力情況，便可以確定彈簧的形變量是相等的。而要求繩對物體B的最大拉力和最小拉力，只需研究B在最低和最高兩個位置的狀態，應用牛頓第二定律即可求解。
（1）假設繩剪斷前，彈簧伸長量為x1，剪斷后，在振動的平衡位置，彈簧壓縮量為x2，所以kx1=mg，kx2=mg，即x1=x2，兩個狀態的彈性勢能相等（振動的振幅d=（x1+x2）。
由機械能守恒定律，有：
3mgd-2mgd=12×5mv2，
解得v=25gd。
（2）B振動到最低點時拉力最大，設為F1；振動到最高點時拉力最小，設為F2；
B在振動過程的最低點：
F1-2mg=2ma，3mg+kx1-F1=3ma，
解得：F1=2.8mg。
B在振動過程的最高點：
2mg-F2=2ma，解得：F2=1.2mg。
點評 本題運算量雖不大，但由于A、B作為一個整體在豎直方向做簡諧運動，且它們的振動始終反相，所以，不論從問題情景的設置還是從問題內涵的份量上來看，本題具有一定的難度。但當畫出振子的三個關鍵位置的示意圖，則彈簧的形變量、振子運動的位移、振子的受力狀態等物理量將會清晰直觀地展現出來，這樣求解就方便多了。
案例2 如圖3甲所示，小物塊m1與m2通過一輕質彈簧相連，靜止于固定的光滑水平長木板上，物塊m1與固定在長木板上的豎直擋板接觸。現將小物塊m3正對物塊m1與m2的方向以初速度v0運動，與物塊m2發生無機械能損失的碰撞。已知物塊m1與m2的質量均為m，物塊m3的質量為m/3，彈簧的勁度系數為k，且下述過程中彈簧形變始終在彈性限度內。
（1）試求碰撞后物塊m3的速度和物塊m1的最大速度。
（2）若只將長木板右端抬高，變成傾角為θ的固定斜面，如圖3乙所示，物塊m1、m2處于靜止狀態，現讓物塊m3從長木板上的A點靜止釋放，與物塊m2相碰后粘合在一起，為使物塊m2、m3向上反彈到最大高度時，物塊m1對擋板的壓力恰為零，則A點與碰撞前物塊m3的距離為多大？整個運動過程中彈簧最多比原來增加多少彈性勢能？
解析 在此著重分析第（2）問。
（1）明確研究對象。
在（2）問中振子由物塊m2和m3整體組成，起振方式是讓物塊m2和m3發生非彈性碰撞，使振子在非平衡位置獲得一定的動能，從而引起物塊m2和m3做簡諧運動。
（2）勾畫位置示意。
根據本問情景，畫出反映振動過程中幾個關鍵位置的狀態示意圖如圖4所示。
物塊m3與m2在碰撞前，彈簧的壓縮量為x1= m2gsinθ/k，此位置記為碰撞位置A′；m2和m3整體的平衡位置在O處，此處彈簧的壓縮量為x3=（m2+ m3）gsinθ/k； m2和m3反彈到最大高度B時，彈簧的伸長量為x2=m1gsinθ/k=x1；另外，當彈簧的彈性勢能最大時，m2和m3在最低位置C，此位置與平衡位置O相距x3+ x2，與碰撞位置A′相距x3+x2+x3-x1= 2x3，與最高位置B相距2（x3+ x2）。
（3）選擇狀態過程。
要求碰前m3與m2的距離，關鍵需求出碰后m3與m2整體的速度，由于碰撞位置與最高位置彈簧的彈性勢能相等，因此，可以選擇從碰撞后瞬間至最高位置這一過程，列系統機械能守恒方程加以解決。而要求整個運動過程中彈簧彈性勢能的最大增加量，可以從位置示意圖中靈活選擇相關過程列式求解。例如，最直接的是選擇從碰撞位置A′到最低位置C這一過程，彈性勢能的增加量等于系統重力勢能的減小量與動能的減小量之和；也可以選擇從最高位置B到最低位置C這一過程，所求彈性勢能的增加量等于系統重力勢能的減小量。
物塊m1離開擋板時，物塊m2的速度大小為12v0，方向向右。當物塊m1的速度最大時，彈簧恢復原長。設物塊m1的最大速度為vm，此時物塊m2的速度為v3，物塊m1、m2與彈簧組成的系統動量和動能守恒，有
（3）彈簧壓縮最大時，整個運動過程中彈簧增加的彈性勢能最大，此時物塊m2的速度為零。另外，還可根據示意圖，應用多種方法進行求解：
點評 本題檢測后發現得分率很低，得滿分的學生可謂鳳毛麟角，說明試題的綜合性很強，難度很大。究其原因，大多數學生正是由于對物理狀態認識模糊、對物理過程把握不清導致錯解。而當我們在評講時介紹了畫關鍵位置示意圖的解題策略后，學生普遍反映對此題的過程和特殊狀態豁然開朗，題目也似乎變得十分簡單了。
(欄目編輯黃懋恩)
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
