巧用等軸雙曲線性質解競賽題

玻意耳定律指出：溫度不變時，一定質量的氣體的壓強跟它的體積成反比。其數學表達式為pV=恒量。氣體的等溫變化也可用圖線來表示。用直角坐標系的橫、縱軸分別代表氣體的體積V、壓強p，氣體在溫度不變時，壓強p與體積V的關系在p-V圖上是一條關于直線p=V對稱的等軸雙曲線，如圖1所示。而且氣體溫度越高對應的雙曲線離坐標原點越遠。

利用平面解析幾何方法和等軸雙曲線知識解決氣體性質中溫度極值問題相當方便。

例1 （第5屆全國競賽）已知每摩爾單原子理想氣體溫度升高1K時，內能增加1.5R（R為普適氣體常量）。現有（2.008.31）mol的單原子理想氣體，經歷ABCDA循環過程，在p-V圖上是一個圓，如圖2。圖中橫、縱坐標分別表示氣體的體積和壓強。（1）試分析該循環過程中哪一點（H）氣體溫度最高，并求出該溫度值。（2）氣體從狀態C到狀態D過程中，內能增量，外界對氣體做功，氣體吸熱各為多少？

析與解 在p-V圖上理想氣體等溫變化過程是一等軸雙曲線，它關于直線p=V對稱，溫度越高的雙曲線與該直線的交點距坐標原點越遠。ABCDA循環過程中在p-V圖上的各點都可看成是多個等溫線上的點，只有與圓相外切的那只雙曲線才是對應溫度最高的，且切點與圓心的連線必在p=V直線上，即最高溫點H必在直線P=V與圓的遠交點上。

氣體從狀態C到狀態D過程中，是體積減小的壓縮過程，外界對氣體做功在數值上等于p-V圖上CD圓弧下的面積，由熱力學第一定律即可求出此過程中氣體的吸熱問題了。

例2 （第15屆全國競賽）1mol理想氣體緩慢地經歷了一個循環過程，在p-V圖上該過程是一個橢圓，如圖3?！?br>