帶電粒子在正交電磁場中運動問題的初步研究

在高中物理中常見到帶電粒子在互相正交的磁場與電場中運動這類習題。但對帶電粒子在正交的電磁場中運動的軌跡是怎樣的這一問題，由于涉及高等數學知識，無法對高中學生說清楚，因此在分析問題時往往只介紹說其軌跡為擺線（旋輪線）就不再深究。其實，應用擺線的特征結合初等數學知識也可以推導其運動軌跡方程，這對理解其運動，避免在編擬類似試題時出現科學性錯誤等方面是很有意義的，而且這種分析問題的方法在解決帶電粒子在復合場中的運動這類問題也是很有意義的?，F推導其運動軌跡方程如下。

1 思路

由擺線的幾何意義（一個動點同時參與勻速直線運動和勻速圓周運動，其實際的運動軌跡就是擺線，如以地面為參考系，勻速直線運動汽車的車輪上一點的運動軌跡即為擺線）可知，做擺線運動的質點同時參與了勻速直線運動和勻速圓周運動兩個互相獨立的運動。所以，研究帶電粒子在電磁復合場中的運動時也就可以將其分解為兩個方向的運動，使其中一個分運動的洛倫茲力恒與電場力抵消，帶電粒子只受另一分運動的洛倫茲力作用，即做勻速圓周運動。這樣根據運動獨立性原理，分析這兩個分運動就能得到帶電粒子運動的軌跡方程。

2 證明

如圖1所示，有一質量為m帶電量為+q的帶電粒子（重力不計），開始時靜止于直角坐標系xoy平面的原點o。今在+y方向加一勻強電場E，同時有垂直xoy平面方向的勻強磁場B（如圖1所示）。

3 討論

3．1 運動軌跡的基本情況

通過以上分析，在編擬帶電粒子在復合場中的運動試題時應注意避免以下兩個容易放錯誤的情況。

（1）誤認為帶電粒子起始運動軌跡為圓。如擺長為l的輕質帶電單擺小球在正交磁場中由靜止釋放，如圖4所示 ，由于小球運動軌跡的曲率半徑是從起點開始逐漸增大的，在開始階段小球將不沿圖中的圓軌跡運動，而沿擺線運動，直到當圓軌跡與旋輪線相交時再沿圓軌跡運動。所以，編擬帶電體在類似復合場中運動的問題時要避免犯這樣的錯誤，認為小球由圖3所示的位置釋放后立即沿圓周運動，造成科學性錯誤。

（2）誤認為帶電粒子沿旋輪線運動到圖2中的最高點時將做直線運動。事實上，該處帶電粒子所受洛倫茲力的大小為 f＝2Eq，這說明在該點帶電粒子受到的洛倫茲力大小恒為電場力的2倍。所以帶電粒子運動到最高點時速度方向雖然平行x軸正方向，但并不沿x軸正方向做勻速直線運動。教師編制此類習題時應格外小心謹慎。

3．3 進一步拓展，提出如下問題

如果圖1中的帶電粒子在坐標系原點o具有垂直于電場和磁場方向沿＋x方向的初速度v0，其運動軌跡又是怎樣的呢？

將由圖7 (a)求出的位移⑩、○11兩式與前面由圖1求出的位移⑥、⑦兩式比較可知在開始階段帶電粒子做勻速圓周運動的分位移x、y的方向相反(由正、負號表示)。

圖8所示的帶電粒子的運動方程○12、○13兩式跟圖1所示的帶電粒子的運動方程⑥、⑦兩式對比，不難發現形式完全一樣，但圖8和圖2所示的運動軌跡卻有較大差異，原因是圖2中帶電粒子在原點o的初速度為0，而圖8中帶電粒子在原點o的初速度為v0＝v1－v2。

以上分析說明帶電粒子垂直進入正交的電場、磁場區域時，若滿足v0＝EB時，粒子做勻速直線運動（如速度選擇器）；若v0≠EB時，粒子將做類似擺線運動，并非一直向上或向下偏轉打在極板上，只有當兩極板間距離d的一半小于旋輪的直徑2R時，粒子才能打到極板上。我們在編選速度選擇器一類習題時，并不知道帶電粒子有可能打不到極板上的情形，這一問題應引起大家的關注。

4 應用

帶電粒子的旋輪線運動的分析研究方法，在解一類習題中具有特殊意義，可以使解題方法得到簡化，下面試舉一例。

(欄目編輯趙保鋼)

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