例說(shuō)電磁感應(yīng)中的極值問(wèn)題

在與電磁感應(yīng)有關(guān)的習(xí)題中，有不少是求極值問(wèn)題。從所求的物理量來(lái)分類，這一問(wèn)題可分為兩大類，一類是求力學(xué)量的極值，另一類是求電學(xué)量的極值。本文以例題形式說(shuō)明如何求解這些極值問(wèn)題。

1 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中求某力學(xué)量極值的問(wèn)題

例1 如圖1所示，AB、CD是兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ。在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在導(dǎo)軌的AC端連接一個(gè)阻值為R的電阻。一根垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，質(zhì)量為m，從靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑，求ab棒的最大速度。(ab棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)軌、金屬棒的電阻都不計(jì)。）

析與解 金屬棒的受力如圖2所示。由受力分析可知，金屬棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)，速度達(dá)到最大值。速度最大時(shí)的瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)即導(dǎo)體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的電動(dòng)勢(shì)，設(shè)為E，則：

例2 如圖3所示，有一水平放置的U形導(dǎo)體框架，內(nèi)接電動(dòng)勢(shì)為E₀，內(nèi)電阻為r的直流電源，其上水平放一根電阻為R、長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m的金屬棒。它的中點(diǎn)系一細(xì)繩，通過(guò)固定于木架CD中心的定滑輪與質(zhì)量為M的重物相連接。整個(gè)空間有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。重物由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦阻力均不計(jì)。求：(1)重物開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，能向下加速運(yùn)動(dòng)的條件。在滿足(1)題的條件下：(2)重物開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)一瞬間的加速度；(3)重物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度。

析與解 (1)開(kāi)始時(shí)金屬棒受到向右的繩子拉力Mg和向左的安培力F作用

例3 如圖4所示，閉合矩形線圈ABCD，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞水平軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸OO′通過(guò)BC邊和A D邊的中點(diǎn)，并且跟磁感線垂直。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線圈的角速度為ω，線圈的電阻是R，A B邊和B C邊長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)₁和L₂。

(1)設(shè)開(kāi)始時(shí)線圈平面與磁感線垂直，試從導(dǎo)線在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式出發(fā)，證明在t秒末，感應(yīng)電流為

(2)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，磁場(chǎng)作用在線圈上的力矩最大?為什么?

(3)求出最大力矩。

析與解 (1)在線圈轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，AD和BC邊不切割磁感線，AB和CD邊切割磁感線，并產(chǎn)生兩個(gè)相同的電動(dòng)勢(shì)E₀，如圖5所示，所以線圈中的總電動(dòng)勢(shì)為：

2 在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中求某電學(xué)量的極值

例4 如圖6所示，OACO為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌，O、C處分別接有短電阻絲（圖中用粗線表示），R₁=4Ω，R₂=8Ω（導(dǎo)軌其它部分電阻不計(jì)）。導(dǎo)軌OAC的形狀滿足方程y=2sin(πx/3)(單位：m)。磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0．2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面，一足夠長(zhǎng)的金屬棒在水平外力的作用下以恒定的速度v=5．0m／s水平向右在導(dǎo)軌上從O點(diǎn)滑動(dòng)到C點(diǎn)，棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終保持與O C導(dǎo)軌垂直，不計(jì)棒的電阻。求：

(1)外力F的最大值；

(2)金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)的電阻絲R₁上消耗的最大功率；

析與解 （1）由公式E=BLv可知L最大時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E最大。

例5 在圖7中，da、cb為相距l(xiāng)的平行導(dǎo)軌(電阻很小，可以忽略)，a、b間接有一個(gè)固定電阻，阻值為R，K直細(xì)桿MN可以按任意角θ架在平行導(dǎo)軌上，并以勻速v滑動(dòng)(平移)，v的方向與da平行，桿MN有電阻，每米長(zhǎng)的電阻值為R，整個(gè)空間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖7所示。求：

(1)固定電阻R上消耗功率最大時(shí)角θ的值；

(2)求在桿MN上消耗的電功率最大時(shí)角θ的值。

例6 如圖8所示，均勻?qū)Ь€制成的金屬圓環(huán)，垂直磁場(chǎng)方向放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，圓環(huán)總電阻為0．4Ω。另有一直導(dǎo)線OP長(zhǎng)0．1m，其電阻為0．1Ω，一端處于圓環(huán)圓心，另一端與圓環(huán)相接，金屬轉(zhuǎn)柄OQ的電阻為0．1Ω，它以10r·s^-1的轉(zhuǎn)速沿圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。求O P中電流強(qiáng)度的最小值是多少?方向如何?

(欄目編輯陳 潔)

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