解題分析與思維能力的培養

摘 要：以一道力學題為例，論述了小量分析和對稱性分析法在解題中的重要意義。教師在教學中，應倡導學生運用這些方法，讓他們從中得到思維能力的培養。

關鍵詞：小量分析；對稱性；思維能力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2007)6(S)-0009-2

1 引言

培養學生的思維能力乃是教師的天職。教師在教學中，不論采取何種方法，其著眼點不僅僅是為了解決對知識的傳授，更重要的是要激發學生去思維，使他們的應變能力及解決實際問題的能力等各種能力都得到培養和提高。

例如，對于變力做功問題，在普通物理學中利用微積分這一數學工具，很容易獲得解決。然而，這樣解題在培養學生的思維能力方面往往不一定會給學生帶來多少益處，因為使用微積分對大學生來說乃是很平常的事。如果我們在教學中，對于有些問題，除了使用高等數學工具外，還有意識地提出一些限制，要求他們加強對問題的分析，采取一些特殊的方法對問題求解，不但能使他們從中學到并掌握多種解題方法，而且還能對其分析能力和思維能力的提高起到極大的促進作用。

2 用小量分析和對稱性分析法求變力的功

顧名思義，小量分析法就是在解決某具體問題時選取小量，針對題給條件和要達到的目標進行分析，然后運用相關知識得到需要的結果；對稱性分析法則是根據問題建立模型，然后分析它們的對稱性，讓對稱的部分疊加后相合或相消而化簡計算，從而順捷便利地得到結果。由于即使是中學生，因他們已學完了極限的概念，取小量對他們來說，是完全可以接受的。因此，在教學中，只要教師講授得法，利用小量分析法與對稱性分析法來解決變力做功問題是完全可行的。

2.1 例題及分析

例題 如圖1所示，將一橫截面為圓形的長管彎成半經為R的半圓形軌道ACB并將其置于豎直平面內，今在軌道內放一質量為m的小球，其直徑比圓軌截面圓的直徑略小，用一輕細線系住小球以力F拉之使其保持線速度v不變地從半圓形軌道下端A運動到上端B，若小球與軌道壁間的動摩擦因數為μ（恒量），試求該過程中外力F所做的功。

分析 這是一個變力做功的問題。如前所述，對于大學生來說，他們學過微積分，較為容易解決，但在這里不使用微積分求解而強調分析和解題方法的選用，對他們來說也是有好處的；對于中學生，雖有一定難度，但若運用他們已學過的極限概念，亦不難求得結果。從下面的解答過程來看，不論是對中學生還是對大學生，其解題思路對他們都將有很大啟發。

我們先來考慮小球的運動過程。如果小球的速度較大，在自A至B的過程中，它總會與軌道外壁接觸，壁對小球的支承力的方向總是指向圓心；如果球的速度不太大，其沿軌道運動就會出現兩個過程：先沿外壁運動到某一位置D（CD弧對應的圓心角為θ₀），然后再沿內壁運動，且從外壁向內壁過渡的瞬間，壁對球無支承力，故本題要分兩種情況討論。

2.2 解答

（1）速度較大時

在AC弧段，這時小球受到四個力，即重力mg、外拉力F₁、摩擦力f₁和軌道壁的支承力N₁，并且它們滿足方程： 

因速度不變，動能不變；上式中第一項就是外力克服摩擦力所做的功，而第二項就是為增加小球的重力勢能外力所做的功。

(2)速度不太大時

小球在AC段因有切向速度及重力沿半經方向的分量背離圓心，故這段只能接觸外壁；在C點處也不會過渡到內壁，因若在C點過渡，小球在離開外壁后而尚未接觸到內壁時將失去壁的支承力，重力與外拉力都與OC垂直而不能提供向心力。所以小球一定是在CB弧上的某點D由接觸外壁過渡到接觸內壁。設CD弧所對的圓心角為θ₀，則在D點有：

前兩項為外力克服軌道摩擦力所需做的功，第三項則是為增加小球勢能所要做的功。

至此，初看似要用高等數學的微積分才能解決的變力做功問題，我們只采用小量分析并結合對稱性分析便輕而易舉地解決了。

3 評析與啟示

在上例求解變力做功的過程中，利用小量分析和對稱性分析，只要教師稍有點撥，學生就能將自己的思維跟上分析并很好地發散開來，綜合利用弦與弧及其向直徑的投影等和做功關系，很好地理解和接受，在建立起求和式子后并把該式計算出來。然而，他們往往不會去考慮小球運動速度的大小，因題給條件就是線速度大小v不變，結果大多會只給出①的答案；或者有的人雖考慮到速度大小將造成小球先接觸軌道外壁爾后改為接觸內壁，但也會認為是在C點過渡。因此，教師此時應即刻抓住要害給予點撥，說明在C點不能過渡的原因及列式求出過渡點D的位置（對應的圓心角θ₀即④式）。

從④式不難看出，如果v²>Rg，θ_{0不存在，其物理意義就是小球總沿軌道外壁運動；若v²=Rg，θ0=π/2，這時小球沿外壁運動直到達頂點B，并且mg=mv²/R，即在B處時僅重力作為向心力；當v²0}存在、有意義，也就是出現②中所討論的情況。

通過對這道力學題的討論，學生不難體會到小量分析與對稱性分析法的重要性，對于像變力做功這樣似難實易的問題，只要開動腦筋，積極思維，也可迎刃而解。

(欄目編輯趙保鋼)

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