試論分析和解決數學問題能力的內涵及教學策略

張廣飛 徐海波

從某種意義上講，數學學習的最終目的是能夠運用所學知識、原理比較熟練地分析和解決各種數學問題。雖然中學數學中研究的問題，都是在一定的科學背景下已經解決的問題，從科學探索的意義上，它們已不成其為問題。但是由于學校教學過程中學生認識活動的特殊性，對于學生而言，這些仍作為一個個未知的問題提出。數學教學就是通過引導學生去探索、解決這一個個問題，從而達到掌握知識、發展智力、培養能力的教學目標。本文試就從學習遷移和多元認知角度，對分析和解決數學問題的全過程加以審視，從理論和操作兩個層面上進行了闡述。

一、分析解決數學問題的基本程序模式

問題解決是一種企圖達到目標的嘗試。問題解決者的任務就在于要找到某種能達到目標的操作程序。通常一個數學問題包含著已知、條件、未知及它們之間的聯系這幾個要素，數學問題解決的任務就是尋找已知、條件和未知之間的聯系，并利用這種聯系去達到解決問題的目的。

面對一個數學問題，解答者總是在他們已有和能夠達到的認知狀態中，猜測或搜索出一些概念、規律和方法。嘗試在問題的目標和條件之間尋找聯系。一旦確定某一或某些概念、定理和性質可能建立起這種聯系時。便將其探索應用于求解這個給定的問題，從而得到一個結果。然后將這一結果反饋檢驗，若結果是肯定的，則問題解決；若結果是否定的則進行矯正。即修改或重新猜測，這種循環往復，利用“猜測——探索——結論”最終使問題解決的思維程序，是數學問題解決(實際上也使用于其他問題解決)的基本模式。

二、分析和解決數學問題能力的內涵

從上面的問題解決模式可知，分析和解決數學問題過程中包含著各種不同的活動，因此分析和解決數學問題的能力也是一種包羅廣泛的能力。根據分析和解決數學問題中的程序模式，分析和解決數學問題的能力主要包括如下內涵。

1、識別和分析問題的能力

識別和分析問題的能力是指正確理解題意，善于發現問題中的隱含條件，恰當地選擇已知、條件，正確分析問題中可能用到的定理、性質、規律的能力。學不好數學的學生常常由于這一能力不強，找不出問題中的隱蔽條件、臨界條件，或是不善于甚至不習慣于去分析數學過程，在具體問題面前不進行具體分析，而是亂套亂用性質，憑空想當然解題，在解決問題的起始階段就走向了歧途。

2、“原型”的衍生和再造能力

“原型”就是形成數學概念和方法時的原始材料，實驗探究或驗證的過程，以及為了掌握數學技能、方法時，學習過的典型例題。從本質上講，解決實際問題時，我們首先都是在“問題原型”的啟發下，進行思考和展開思路的：很多看似新的題型都是由我們所熟知的“問題原型”衍生、再造或重組而成的。因此我們學習時，除了記熟公式、原理和方法以外，還應該熟練的掌握各種類型的“問題原型”。分析和解決數學問題能力強的學生，“問題原型”掌握一定比較豐富，且穩定性和可辨別性較強，同時“問題原型”的衍生、再造和重組能力也一定較強。

3、選擇解決問題的策略和對解題過程評價反饋的能力

選擇解決問題策略的能力包括兩個方面。—個方面是對問題的方向進行大致推測，并把將要采取的手段與問題的未知聯系起來，對解決問題的可行性進行判斷的能力。這方面的能力強，從一開始就能從客觀上把握問題的整體，高瞻遠矚地看待以后的解題過程。從而可以避免走彎路或不必要的失誤。另一方面是選擇合適的解題方法的能力。方法選的合適，不但使問題可以解決，而且能使問題的解決過程變得十分簡捷，方法的選擇也是極具靈活性的。

對解題過程的評價反饋能力是指：①根據已經解得的部分結論，及時作出評估和預見，判斷前面選擇的解題策略是否正確，判斷已經做的分析解答是否正確，做出下一步怎么辦的決定：②在得出最終結論后，對結論作出評估，是否大致可信，是否和實際情況大致相符，如果不可信、不相符，則還須重新檢查或審視前面的解答過程；③解答完后，對整個解題過程作出總結，形成“問題原型”，以便以后解決數學問題加以借鑒。

三、對應的教學策略

在分析和解決數學問題教學過程中，只有樹立培養學生分析和解決數學問題的能力的觀念。才能抓住教學的本質，給以學生可持續發展的能力；只有明確分析和解決數學問題能力所包含的內涵，才能將培養學生分析和解決數學問題的能力落到實處，減少教學的盲目性；只有掌握了具體的培養分析和解決數學問題能力的途徑和方法，才能增強教學的針對性，使學生分析和解決數學問題的能力在課堂教學過程中，被潛移默化地培養起來。1、讀審數學問題拿到題目后，先粗后細，先整體后局部地閱讀，對整個題目的概貌做到心中有數：弄清題目中給出的已知條件是什么，追索題目中隱含的己知條件是什么，明確題目應達到的目標是什么。讀審實質上是尋找解題信息，形成問題解決出發點的過程。

2、建構、豐富學生“問題原型”，并促進“問題原型”的遷移分析和解決數學問題的過程無外乎兩種情形、第一種情形，在原有原型的啟發下，結合具體數學情景，在原有模式下分析和解決所面臨的數學問題；第二種情形，沒有現成的“問題原型”可以作為借鑒，需要自己重新構建解題模式，需要有更多的創新思維參與解題活動。

在具體的教學過程中，一方面，在對新的概念、原理的講授時，不能簡單地將概念、原理直接交給學生，然后做大量的習題，用以理解、內化剛剛接觸的概念、原理。而應該花更多的時間在概念、原理的產生過程上，盡可能地講清楚形成的背景，是因為遇到什么困難或解決什么問題，而提出某個概念或原理，還要讓學生了解概念、原理是怎樣由假說通過實驗驗證加以修正，再實驗驗證再加以修正。最后才形成教材中呈現出的概念、原理。另一方面，在進行習題教學時，應選擇衍生和再造性較強的例題，也就是通常所指的典型例題，保證為學生建構比較完備充分的“問題原型”庫，具體要兼顧到以下幾點：①既要有順推法又要有逆推法解題思路：②解題常用的科學思維方法都應經常涉及到，例如，比較和鑒別、分析和綜合、歸納和演繹、類比和聯想、直覺等方法；③讓學生經常接觸到數學問題解決的一些特殊方法，例如，隔離法、整體法、守恒法、反證法、極端假說法、虛設法、等效法、圖解法、極值法等。分析講解時，更多是怎樣引導學生運用已經掌握的原型來解決目前所面臨的新的數學問題，幫助學生分析新的問題與已經掌握的原型之間的異同點，以原有的原型為基礎結合新的問題情景衍生或再造出新的“問題原型”，隨之數學問題便解決了。

3、讓學生形成直覺判別的習慣、養成經常總結反饋的習慣在教學過程中。鼓勵學生憑直覺大膽地進行猜測，先理出大致的總體的思路，再具體著手推理、運算；不斷地糾正學生這樣壞習慣：一拿到題目。匆匆讀完后就進行具體的運算，只要方程能算出具體的數值就算出來再說。有了這種壞習慣的學生往往只見局部不見整體，解題時手忙腳亂，經常忙了很長時間后，才發覺是錯的，由于考試時間有限，每道題目都蜻蜓點水般算幾個簡單的得數，感覺每道題目都會點，就是不能得分。使學生養成這樣的習慣：在理清思路后，運用所學知識、原理、方法列出數學方程，然后作出評價決斷，判斷所列方程是否正確，判斷問題所包含的數學情景是否都已經表達出來了，判斷所列方程是否可解，判斷是否還有補充方程，最后，才是具體運算，得出答案。

4、培養學生數理結合意識、熟練使用常用的數學工具、迅速估算的能力分析和解決數學問題的過程實質上。是運用所學的數學知識和原理，將問題給出的數學情景，抽象或簡化成各種要領模型和過程模型，用數學化的公式或方程表達出來，最后運用數學知識解得結果，在教學過程中，培養學生的這種意識非常重要，很多學生只知道背公式、方程，解題時簡單地套用公式，有時候問題解決了，也不知所以然，這次能得出答案，過一段時間再遇到又不會做了。有了數理結合的意識。分析、思考問題會比較透徹，容易抓住問題的實質，能夠將解過的問題進行歸類總結，形成“問題原型”能夠做到舉一反三、觸類旁通。

此外，培養學生的估算能力也很重要，對于估算能力強的學生，評價自己的解題思路是否正確的速度會很快，這樣有助于提高分析和解決數學問題的敏捷性、準確性。