小尺度效應對納米開關吸合行為的影響

□陳博 □譚亮

蘭州理工大學機電工程學院 蘭州 730050

近年來隨著納機電技術的發展，作為納機電系統基礎元器件的納米開關，受到了眾多研究學者的青睞。納米開關主要有兩種類型，分別是懸臂納米開關和固支納米開關。這種納米開關是一種類梁結構，它可以看作是由中間被電解質隔開的可移動臂和固定臂組成，當在可移動臂和固定臂之間施加外加電壓時，靜電力會使可移動臂和固定臂之間發生吸附行為［1］。

在宏觀理論下，分子間的作用力，如范德華力和克什米爾力等，這些微小力都是忽略不計的。但當納米開關的尺寸和分子處于同一數量級時，小尺度效應對于其機械性能的影響就顯得非常重要［2］。曹共柏等［3］采用經典的分子動力學方法，分析了兩端固支的納米梁的力學行為特征，結果顯示發熱是納米梁耗散機制的重要方式，即諧振能量轉化為梁中原子的熱運動動能。許科峰等［4］提出了幾種基于MEMS（微機電系統）各向異性腐蝕技術的納米梁制作方法，通過利用MEMS技術中材料與工藝的特性實現單晶硅納米梁的制作。徐臨燕等［5］基于原子力顯微鏡（AFM）測量了納米梁的楊氏模量。近年來，由于需要合適的模型和理論來分析小尺度的機械器件和設備的機械性能，這就使連續介質力學的尺寸依賴理論受到了持續的關注［6］。嚴格來說，經典的連續介質力學并不適用于納米級的納機電系統元器件的分析，但是由于納米級別的對照試驗和分子動力學模擬不僅實施起來比較困難，而且成本昂貴［7］，所以一些研究學者建立了若干非經典的連續理論，如非局部彈性理論［8］和偶應力理論［9］，來解釋納結構的尺寸依賴行為。Beni Y T等［10］利用修正的偶應力理論和修正的Adomian分解方法，研究了納機電系統中吸附行為的尺寸依賴特性，他們的研究結果顯示，小尺度效應使納米梁的臨界吸附電壓增大了。為了更為客觀地反映小尺度效應對納機電器件的影響，Yang J等［11］基于非局部理論對受外加電壓和分子間作用力共同作用的納米開關的吸附行為進行了研究，他們提出了一個線性分布載荷（LDL）模型，以獲得懸臂和固支納米開關封閉形式的解決方案，同時還發現，小尺度效應使懸臂納米開關的吸合電壓增大了，納米開關固支納米開關的拉入電壓減小了。 Peng J S等［12］用一個適合邊界條件的線性負載模型替代了LDL模型，并且基于Eringen的非局部彈性理論對納米促動器的吸附行為重新進行了穩定性研究。此外，Wang B L等［13］提出使用應變梯度彈性理論來研究電驅動納米梁的尺寸依賴性。Mousavi T等［14］基于Eringen的非局部彈性理論對納米開關的吸合行為進行了分析。Wang K F等［15］通過差分正交方法研究了受靜電力和分子間作用力作用的納米開關的吸合穩定性。

▲圖1 納米開關模型

為了進一步研究小尺度效應對納米開關的影響，筆者引進了基于傳統非局部理論和精確的能量變分法而獲得的等效非局部理論，此理論建立在Eringen［16］的非局部彈性理論基礎之上。筆者研究的主要內容是在得到受靜電力和分子間作用力共同作用的納米開關的控制方程后，利用解析法求解控制方程。

1 納米開關模型

懸臂納米開關和固支納米開關都由一個可移動臂和一個固定臂組成，不同的是懸臂納米開關可移動臂是類懸臂梁結構，而固支納米開關可移動臂是類簡支梁結構。在臨界吸合電壓作用下，可移動臂失穩而吸附在固定臂上，完成吸合行為。為研究納米級結構的吸合行為，需要考慮范德華力、克什米爾力和靜電力等微小力對其的影響。圖1是納米開關的模型。

在圖1中，L為納米開關的長度；U為外加電壓；X和 Z為坐標軸；g為納米開關固定臂 （The fied electrode）與可移動臂（The movable electrode）之間的初始距離；w為可移動臂變形后的撓度。

2 等效非局部理論模型

根據歐拉伯努利梁理論可知，沿坐標軸X方向的位移與應變之間的關系可表示為：

式中：εxx表示沿X軸向的正應變；t表示時間；z為沿Z軸方向的值。

為簡化計算并更好地表達非局部納米效應，引入非局部納米參數τ：

式中：e0a是通過匹配實驗和分子動力學模擬實驗獲得的材料常數。

在二維的情形下，通過格林公式得到的納米開關的非局部應力與經典應力之間的關系為：

式中：σij為非局部應力；σij′為經典應力；▽為哈密爾頓算子。

當二維非局部理論問題過渡到一維問題時，式（3）可表示為：

式中：σxx為軸向非局部正應力；E為彈性模量。

為了簡化運算過程，對一些參數進行無量綱化：

進行無量綱化后，式（4）可表示為：

上式為二階常微分方程，其通解可以表示為：

聯立式（6）、式（7），可得積分常數 An的表達式：

一般當非局部參數τ逐漸趨于零時，非局部應力σxx就逐漸趨于宏觀應力 σxx′，即所以，通解中的積分常數就必須為零，即 B1（z）=B2（z）=0。 進而，非局部應力的通解簡化為：

有了非局部應力的表達式，就可以用它來表示可移動臂的應變能密度。在納米開關變形后，單位體積內的能量密度μ為：

聯立式（9）、式（10），單位體積內應變能的能量密度為：

為了便于積分，把單位體積內應變能的能量密度分為三部分：

納米開關的總應變能：

式中：U2為總應變能；V為總體積。

單位長度內所受到的克什米爾力［14］為：

式中：h=1.055×10-34Js，是普拉克常數除以2π所得；c=2.998×108m·s-1，為光速；b是可移動臂橫截面的寬度。

可移動臂單位長度內受到的范德華力［15］為：

式中：A為哈莫克常數。

可移動臂單位長度上受到的靜電力為：

式中：ε0=8.854×10-12F·m-1，是真空介電常數。

綜上所述，可移動臂上所受到的均布載荷為：

由此均布載荷做的功W為：

等效非局部理論的理論基礎是能量變分原理，通過這個過程可以得到等效非局部應變能、等效非局部彎矩和高階的幾何邊界條件。為了能夠應用能量變分原理，需要引入函數Z：

聯立上述幾個式子，可以得到：

式中：I為慣性矩。

由能量變分原理可知，能量函數的變分應為零，且在邊界上的變分也為零，所以納米開關的控制方程為：

上式的通解為：

式中：Ci為待定常數，i=1～6。

高階邊界條件由自然邊界條件和幾何邊界條件組成，其中自然邊界條件也稱為位移邊界條件，是強約束的邊界條件，必須在推導之前滿足；幾何邊界條件也稱為力的邊界條件，是弱的邊界條件，是在推導控制方程的過程中獲得的。懸臂納米開關的邊界條件為：

▲圖2 不同條件下納米開關的撓度

固支納米開關的邊界條件：

3 數值計算

如圖2所示，描述了在不同條件下懸臂納米開關和固支納米開關可移動臂的吸合行為。圖2（a）中，隨著軸向坐標x值的增大，可移動臂上對應點的撓度也隨之增大；圖2（b）中隨著x值的增大，可移動臂的撓度先達到一個峰值，而后逐漸減小到零。在圖2（a）中，考慮非局部效應時的撓度要小于經典理論下的撓度，并且當非局部參數τ趨于零時，非局部理論的撓度曲線就與經典理論下的撓度曲線重合，這說明，非局部效應使懸臂納米開關的撓度減小了，即懸臂納米開關的彎曲剛度增大了。在圖2（b）中，非局部效應使可移動臂的撓度較之于經典理論下有所增大。當非局部參數τ趨于零時，也回歸經典理論，這說明，非局部效應使固支納米開關的彎曲剛度減小了。

給定一個外加電壓值，如u=1V，通過連續改變非局部參數τ的值，來獲得相應的最大撓度。由圖3可知，當非局部參數τ趨于零時，可移動臂的最大撓度就回歸到經典理論，即始終保持為一定值。若非局部參數不為零，隨著非局部參數的增大，懸臂納米開關的最大撓度逐漸減小，而固支納米開關的最大撓度則逐漸增大。

4 結論

綜上所述，筆者基于等效非局部理論，研究了小尺度效應對懸臂納米開關和固支納米開關吸合行為的影響，即對兩種納米開關彎曲剛度的影響。為了更直觀表達小尺度效應對納米開關的影響，引入了非局部納米參數，其值越大表示非局部效應越大，當其值趨于零時，非局部理論就回歸到了經典理論。

研究結果顯示，懸臂納米開關和固支納米開關的可移動臂越長，它們的吸合電壓越小。對于同一長度的可移動臂，非局部參數越大，懸臂納米開關的吸合電壓越大，而固支納米開關的吸合電壓越小，但不會改變兩種開關的吸合位移。而且，非局部效應對固支納米開關的影響比對懸臂納米開關的影響要大。兩種納米開關的計算結果，都是通過與經典理論的計算結果進行比較來判斷其結論的準確性和合理性的。非局部效應使懸臂納米開關的最大撓度和吸合電壓比經典理論下的最大撓度和吸合電壓減小了，卻使固支納米開關的最大撓度和吸合電壓比經典理論下的最大撓度和吸合電壓增大了，也就是說，非局部效應使懸臂納米開關的彎曲剛度變大了，卻使固支納米開關的彎曲剛度變小了。

▲圖3 非局部效應對納米開關最大撓度的影響

［1］ Taghavi N,Nahvi H.Pull-in Instability of Cantilever and Fixed-fixed Nano-switches ［J］.European Journal of Mechanics A/Solids,2013,41:123-133.

［2］ Wang G F,Yang F.Postbucking Analysis of Nanowires with SurfaceEffect［J］.JournalofAppliedLetters,2011,109（2）:1-3.

［3］ 曹共柏,焦繼偉,陳云飛，等.單晶硅納米梁的分子動力學模擬［J］.傳感技術學報,2006,19（5）:1686-1688.

［4］ 許科峰,于海濤,楊永亮，等.幾種基于MEMS的納米梁制作方法研究［J］.傳感技術學報,2007,20（9）:1971-1976.

［5］ 徐臨燕,栗大超,胡小唐，等.基于原子力顯微鏡的納米梁楊氏模量的測量［J］.天津大學學報,2007,40（7）:816-820.

［6］ Ou Z Y,Pang S D.Fundamental Solutions to Hertzian Contact Problems at Nanoscale ［J］.Acta Mechanics,2013,224（4）:109-121.

［7］ Murmu T,Pradhan S C.Small-scale Effect on the Free Inplane Vibration of Nanoplates by Nonlocal Continuum Model［J］.Physica E,2009,41（6）:1628-1633.

［8］ Eringen A C.On Differential-equations of Nonlocal Elasticity and Solutions of Screw Dislocation and Surface-waves［J］.Journal of Applied Physics,1983,54（3）:4703-4710.

［9］ Ejike Uwadiegwu B C O.The Plane Circular Crack Problem in the Linearized Couple-stress Theory ［J］.International Journal of Engineering Science,1969,7（1）:947-961.

［10］ BeniY T,Abadyan M R,NoghrehabadiA,etal.Investigation of Size Effect on the Pull-in Instability of Beamtype NEMS underVanderWaalsAttraction ［J］.Procedia Engineering,2011,10（1）:1718-1723.

［11］ Yang J,Jia X L,Kitipornchai S,et al.Pull-in Instability of Nano-switches Using Nonlocal Elasticity Theory［J］.Journal of Physics D:Applied Physics,2008,41（3）:295-302.

［12］ Peng J S,Luo G B,Yang L,et al.Pull-in Instability Behaviour of Nanoscale Actuators Using Nonlocal Elasticity Theory ［J］.Advanced Materials Research,2012,468 （1）:2755-2758.

［13］ Wang B L,Zhou S J,Zhao J F,et al.A Size-dependent Kirchhoff Micro-plate Model Based on Strain Gradient Elasticity Theory ［J］.European Journal of Mechanics A/Solids,2011,30（4）:517-524.

［14］ Mousavi T,Bornassi S,Haddadpour H,et al.The Effect of Small Scale on the Pull-in Instability of Nano-switches Using DQM ［J］.InternationalJournalofSolids and Structures,2013,50（2）:1193-1202.

［15］ Wang K F,Wang B L.Influence of Surface Energy on the Non-linear Pull-in InstabilityofNano-switches ［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics,2014,59（1）:69-75.

［16］ Eringen A C.Nonlocal Continuum Field Theories ［M］.New York:Springer-Verlag,2002.

［17］ Lamoreax,S K.The Casimir force:Background,ExperimEnts,and Applications ［J］.Reports on Progress in Physics,2005,68（1）:201-236.

［18］ Israelachcili,Jacob N.Intermolecular and Surface Forces［M］.3rd ed,Amsterdam:Elsevier Inc,2011.