巧用圖形變換思想證明幾何題

圖形變換，包括軸對稱變換、旋轉變換、平移變換，是新課程標準下幾何知識中充滿活力的嶄新內容.巧妙地運用它，不僅可以設計出許多美麗的圖案，還可以使幾何題的證明更簡捷.

請看下面的例子.

例1如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上的點，且∠DAE=45°.試證明：以BD、DE、EC為邊構成的三角形是直角三角形.

1.運用軸對稱變換進行證明

證法1將△ABD、△ACE分別以AD、AE為對稱軸翻折到△AFD、△AF′E.（如圖1）

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，AB=AC，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

∴ AB、AC翻折后重合于AF.

又∠DFE=∠AFD+∠AFE=∠B+∠C=90°，

∴△DFE是直角三角形.

又DF=BD，EF=EC.

∴BD、DE、EC為邊構成的三角形是直角三角形.

2.運用旋轉變換進行證明

證法2如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉90°，使AB與AC重合，D點落到點F處.連接EF.

∵△ACF≌△ABD，∴ AF=AD，FC=BD.

在△AEF和△AED中，∠EAF=∠EAC

+∠CAF=∠EAC+∠BAD=45°=∠EAD， AF=AD，AE為公共邊，∴△AEF≌△AED.

∴EF=DE，于是在△FEC中，∠FCE=∠FCA+∠ACE=45°+45°=90°.

∴△FCE是直角三角形.

∴BD、DE、EC為邊構成的三角形是直角三角形.

3.運用平移變換進行證明

例2如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC，且∠B+∠C

=90°，E、F分別是AD、BC的中點，求證：EF=■（BC-AD）.

證明：將AB沿AE方向平移到EG，將DC沿DE方向平移到EH.（即過E作EG∥AB，EH∥DC，交BC于G、H）.

∵AD∥BC，∴四邊形ABGE和四邊形EHCD都是平行四邊形.

∵E是AD中點，∴BG=AE=ED=HC.

∵F是BC中點，∴GF=BF-BG=FC-HC=FH.即F是GH的中點.

∵∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，

又∠B+∠C=90°，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴△GEH是直角三角形.

∴ EF是直角三角形斜邊GH上的中線，∴ EF= GH.

而GH=BC-BG-HC=BC-（AE+ED）=BC-AD.

∴ EF= （BC-AD）.

說明：本題也可以對圖形作以下平移（如圖4）：過A作AH∥DC，AG∥EF，交BC于H、G，然后證明AG是Rt△BAH斜邊BH上的中線.

圖形的軸對稱變換、旋轉變換、平移變換過程中，保持的是圖形的全等，它與全等三角形的性質、判定有著密切的聯系.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。