巧構等腰三角形

在解幾何題中，遇有三角形的角平分線、角平分線的垂線或線段的中垂線時，常設法構造等腰三角形，借助等腰三角形的有關性質，往往能夠迅速找到解題途徑.現略舉幾例加以說明：

例1如圖１，等腰直角三角形ABC中，∠A

＝90°，∠B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E，試說明BD＝2CE．

證明：延長BA、CE交于點F，因為∠BAC＝∠BEF＝90°，所以∠ABD+∠F

＝∠ACF+∠F＝90°，所以∠ABD＝∠ACF.又因為∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，所以Rt△ABD≌Rt△ACF，從而BD＝CF. 因為BE平分∠CBF，且BE⊥CF，所以△BCF為等腰三角形，且CE＝EF，從而CF＝2CE，即BD＝2CE.

例2如圖２，在△ABC中，AB>2AC，試說明∠ACB>2∠B.

證明：延長BC到D，使CD＝CA，連接AD.則△CAD為等腰三角形，且∠D=∠CAD.因為∠ACB＝∠D+∠CAD，所以∠ACB＝2∠D．又因為CA+CD>AD，即2AC>AD，而AB>2AC，所以AB>AD，從而∠D>∠B，則2∠D>2∠B，即∠ACB>2∠B．

例3如圖３，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分線交BC于D，試說明AB+BD=AC．

證明：延長CB到E，使BE=AB，連接AE，則△BAE為等腰三角形，且∠E=∠1．因為∠ABD=∠E+∠1，所以∠ABD=2∠E=2∠1．而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠E=∠1，則△AEC為等腰三角形，即AE=AC．因為∠C=∠1， ∠2

=∠3， 所以∠ADE=∠C+∠3=∠1+∠2=∠EAD，所以△EAD為等腰三角形，則AE=DE=DB+BE=DB+AB，即AB+BD=AC.

例4如圖4，在△ABC中，AB=AC， ∠A=120°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，試說明BD= CD.

證明：連接AD，因為AB=AC，∠A=120°，所以∠B=∠C=30°.因為DE垂直平分AB，所以△ABD為等腰三角形，DB=DA，所以∠BAD=∠B=∠30°，則∠DAC=90°，∠C=30°，所以AD= CD，而BD=AD，所以BD= CD．

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