對一次函數(shù)的圖象平移問題的探究

在平面內(nèi)將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的平移.雖然圖形平移前后，其形狀、大小保持不變，但它的位置已經(jīng)發(fā)生改變.那么坐標(biāo)平面內(nèi)的一次函數(shù)圖象的平移又具有怎樣的特點(diǎn)呢？本文和同學(xué)們一起探索.

我們首先從一次函數(shù)y=x+3談起.如果在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)將一次函數(shù)y=x+3的圖象向右平移2個單位，那么所得圖象的函數(shù)關(guān)系式是什么呢？由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們要研究這個問題還是從直線上的特殊點(diǎn)入手.

分析：令y=0，則x=-3，即A（-3，0）；

令x=0，則y=3， 即B（0，3）.

根據(jù)圖形的平移性質(zhì)可以知道：A（-3，0）平移后的對應(yīng)點(diǎn)為D（-1，0）；B（0，3）平移后的對應(yīng)點(diǎn)為

C（2，3）.因此，可以應(yīng)用待定系數(shù)法求得平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1.

由此可知，這兩條直線的自變量x的一次項系數(shù)沒有變化，仍然為1，常數(shù)項b的值發(fā)生了改變.那么對于一般的一次函數(shù)是否還存在這樣的性質(zhì)呢？我們再來求將一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）向右平移m個單位后所得的函數(shù)關(guān)系式.

分析：y=kx+b，令y=0，則x=- ，即A（- ，0）；

令x=0，則y=b，即B（0，b）.

根據(jù)圖形的平移性質(zhì)可以知道：A（- ，0）平移后的對應(yīng)點(diǎn)為D（- +m，0）；B（0，b）平移后的對應(yīng)點(diǎn)為C（m，b）.因此，可以應(yīng)用待定系數(shù)法求得平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+(b-km).顯然，我們可以發(fā)現(xiàn)：一次函數(shù)的圖象平移前后，自變量x的一次項系數(shù)保持不變.

反過來，我們回頭看看“在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)將一次函數(shù)y=x+3的圖象向右平移2個單位”的問題，我們只需要抓住圖形中的一個特殊點(diǎn)進(jìn)行解題即可.顯然，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)為（-3，0），則平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）.我們不妨設(shè)平移后的函數(shù)關(guān)系式為y=x+b，因此，有-1+b=0，所以b=1.即一次函數(shù)y=x+3的圖象向右平移2個單位后的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1.

下面和同學(xué)們一起再來分析兩個例子.

例1求將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向上平移3個單位后的直線的函數(shù)關(guān)系式.

解析根據(jù)一次函數(shù)的圖象平移前后，自變量x的一次項系數(shù)保持不變，我們不妨設(shè)平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+b.

y=-2x+4，令x=0，則y=4， 即取特殊點(diǎn)A（0，4）.所以，點(diǎn)A（0，4）向上平移3個單位后的對應(yīng)點(diǎn)為B（0，7）.

所以，b=7.即這條直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+7.

說明一次函數(shù)的圖象向左或向右平移時，我們往往從直線與x軸的交點(diǎn)入手求得特殊點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；一次函數(shù)的圖象向上或向下平移時，我們往往從直線與y軸的交點(diǎn)入手求得特殊點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn).

例2y=2x+6的圖象是怎樣平移得到y(tǒng)=2x-4圖象的？

解析顯然，這兩個一次函數(shù)的一次項系數(shù)沒有變化，因此它們是互相平行的.我們可以從兩個角度進(jìn)行分析：（1）一次函數(shù)y=2x+6的圖象與x軸的交點(diǎn)為（-3，0），一次函數(shù)y=2x-4的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），所以，將y=2x+6的圖象向右平移5個單位可以得到y(tǒng)=2x-4圖象；（2）一次函數(shù)y=2x+6的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，6），一次函數(shù)y=2x-4的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，-4），所以，將y=2x+6的圖象向下平移10個單位可以得到y(tǒng)=2x-4圖象.

說明其實(shí)本題的答案不惟一，還可以是將一次函數(shù)y=2x+6的圖象先向右平移1個單位、再向下平移8個單位得到一次函數(shù)y=2x-4圖象，等等.

最后，留一道題讓同學(xué)們自己做一做：

求將一次函數(shù)y=2x-1的圖象先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后的函數(shù)關(guān)系式.

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