數學教材內涵透視與精加工策略

數學教材是課程標準具體化的產物，是教師和學生在課堂上展開教學活動的主要依據和憑借。作為教學設計的重要前提，鉆研教材是教學研究的一個永恒話題。在新課程背景下，由于數學教材從內容到形式都發生了較顯著的變化，我們在鉆研教材時不僅要從宏觀上、整體上去把握一冊教材、一個單元在整個教材體系中的地位作用，更要從微觀的角度深刻研究每一課時教材的具體內容、編寫層次和編寫意圖，著力讀懂、讀透教材的每一幅圖、每一句話甚至每一道習題，把握文本背后所蘊藏著的豐富內涵。只有在真正把握好了教材，我們才有可能用好、用足教材，并根據教學活動的實際需要，采取必要的精加工策略，從而提高課堂教學的設計與實施水平。在鉆研和把握教材的過程中，我們應特別注意以下幾點：

一、透過具體的素材看到抽象的數學

[教材舉例]

蘇教版教材二年級下冊的“認識角”。教材例題是這樣編寫的：首先出示了一幅場景圖，給出了許多含有角的實物；接著出示了白菜老師的提示語“你能在哪些物體的面上找到角”；然后再從場景圖中選取幾樣實物，用紅色線條標出角的圖形。

[教材內涵透視]

教材場景圖中給出的五角星、三角尺、紙工袋、鬧鐘、正方形紙等物體，都是學生在日常生活中常見的。幾何圖形上的角和生活中的角是有密切聯系的。通過觀察，可以喚醒學生頭腦中已有的對角的模糊認識和印象。教材中白菜老師的提問，可以引導學生自覺地把這種初步的表象加以確認。在此基礎上，教材選取了3樣實物上的角和幾何形態的角加以重疊，并突出顯示了幾何形態的角，隨后把實物隱去。這個變化的過程。顯然是在幫助學生作出進一步的幾何抽象，建立起角的概念意象。

數學的世界是一個抽象的世界，數學學習的一個主要任務就是要幫助學生在頭腦中建構起各種數學概念，并能依據對數學概念的理解來進一步認識、分析實際生活中的客觀事物，解決相應的問題。在實際的教學活動中，學生對抽象數學概念的理解并不是“憑空”建構的，常常需要經歷一個從具體到抽象的過程。上述教材中。為我們提供了豐富而典型的現實素材。但是如果我們教師僅僅停留在讓學生看看、摸摸、記記、做做等直觀層面和單純記憶層面上，表面上看，活動挺豐富、氣氛很熱烈，其實學生對角這個概念意象的建構必將是不到位的。因為數學概念意象的形成，并不是簡單地由教師將形式化的東西直接塞進學生的頭腦中，它必須通過具體的、直觀的、生活中的素材來逐步呈現，讓學生在充分感知的基礎上進行形式化的抽象。我們教師必須透過這些具體的素材看到抽象的數學本質。

[精加工策略]在感知中抽象

在教學過程中，教師要幫助學生以已有的直觀形象和經驗為基礎。引導學生回顧、再現這些“認知基礎”，在充分感知后通過合理的抽象正確地去建立角的概念意象，形成數學化的概念。我們可以對教材教學作如下處理：

一度感知抽象：在教學中，我們首先要讓學生在豐富的素材中自由地去找到他們頭腦中所存在的角，激活認知基礎，通過指一指、點一點、說一說等活動讓學生充分感知角的幾何特征。在此基礎上，教師將實物圖片漸漸隱去，從中剝離、抽象出角的幾何圖形。通過對多個幾何形態的角的對比，讓學生發現角的共同特征，最后歸納指出角的各部分名稱。至此，學生對角的認識已經初步實現了由具體向抽象的過渡，已經能夠借助直觀形象和經驗去建構出角的幾何概念意象。隨后，教師可以安排一些鞏固性練習。如教材“想想做做”中判斷是否是角、數角個數的練習，以此鞏固學生對抽象概念的認知成果。

二度感知抽象：教材中安排動手做角的活動，目的是進一步鞏固對角的認識，通過動手做來讓學生將頭腦中關于角的概念意象再現出來并實物化、具體化。在學生動手制作后，應展示成果，同時讓學生用語言說說、用手指指所做的角的各部分。在做和說的過程中，學生會對角的概念意象和原先具有的直觀形象、經驗作出必要的整合，從而在更高的層次上建立起一個恰當的關于角的心理表征，深化了對概念的認識。

上述兩度感知抽向過程，從思維方向來說正好相反，第一次是由直觀向抽象推進，第二次是將抽象的結果加以具體化、外顯化。但兩次都借助了直觀具體的素材，讓學生從中充分感知，并逐步向抽象層面過渡，建立起角的概念意象。

二、透過靜態的文本看到動態的過程

[教材舉例]

蘇教版教材一年級下冊的“統計”。教材例題是這樣編寫的：教材第一幅情景圖呈現了4個小朋友商量數圖形的情景，第二幅圖呈現了報名稱、記錄的情景，下面出現了3種不同記錄方式和結果。茄子老師提問：誰記得既清楚又方便?你喜歡用哪一種方法記?最后呈現了一張統計表格。

[教材內涵透視]

第一幅圖中呈現了一堆雜亂的正方形、三角形和圓的圖片。一位小朋友們問每種圖形各有多少個，另一位說：“我報名稱，你們記下來。”其實在這種情況下，最簡單的解決方法是在桌上分一分、數一數。然而教材中卻要求用“我報名稱，你們記下來”的方法來解決問題。那為什么不用簡單的方法呢?顯然。在一年級上學期。學生已經學會了統計已經發生的事件里的信息。本課教材是在此基礎上進一步學習在隨機事件中收集信息的統計能力，即事件或是尚未發生、數量沒有確定，或是事件里的信息沒有固定的呈現規律。教材巧妙地通過一個小朋友所說的“我來報名稱、你們記錄”這句話，營造了這個動態隨機事件的活動情境。第二幅圖中就是展現了這個活動的過程，一位小朋友隨機報名稱。其他小朋友用不同方法記錄。圖下出現的3種不同記錄方法和結果。其中繁簡程度不一，所以由茄子老師提問讓學生比較選擇。優化記錄方法。

上述這種隨機事件的呈現形式，由于受到教材編排的限制，不得不采用靜態的形式。其實這些靜態化的文本，承載了豐富的、動態的數學學習過程。現代認知心理學的研究告訴我們，人們要認識一個概念或者掌握一種技能，必須經歷一個動態的學習過程，在一種特定的學習環境(問題情境)中自由探索，最終在學習者頭腦中建構起關于所學內容的完整、有效的認知體系，充實完善認知結構。因此，我們教師必須透過靜態的文本看到動態的過程，對靜態教材文本作一番動態化處理。

[精加工策略]在動態中建構

讓教材動起來，把原有靜態文本的意圖領會后，要設計成一些具體的數學活動過程，讓學生在具體的活動中感受到數學問題的存在，通過自主嘗試、合作交流來建構合適的數學模型，經歷數學知識產生、數學概念建構的全過程，最終解決問題并發展數學思考能力。比如有一位老師用課件設計了動物園里的小猴子吃餅干的情境，一塊一塊形狀不同的餅干從上方掉下來，小猴子用嘴接住并吃掉，播放后讓學生說說每種形狀的餅干各有多少塊。這樣一來就把學生帶進隨機事件的情境中，讓學生能夠主動地感受到用以前所學的分一分、數一數的方法來統計是行不通的，因此學生就會主動地去尋找一種新的、合理的統計方法，即先要將信息記錄下來，然后再進行整理統計，盡管在嘗試實踐中出現了不同的記錄方法，但其本質是一致的。學生在交流中逐步掌握一種比較簡便、清晰的記錄方法(用打“√”的方法)。

總之，教材由于篇幅、呈現形式的限制，不得不通過這種靜態的文本來傳遞和介紹學習內容、學習程序，同時教材也不可能把所有的教學內容都講得十分詳盡，學生看到的往往是思維的結果。而不是知識的形成過程和思維活動過程(雖然教材也試圖通過豐富的圖文來盡可能展現動態化的學習過程，但這畢竟只是象征性的)。真正的動態化認知過程的構建。必須由教師根據教材內容特點，透過教材中靜態的文本型的內容看到數學知識技能形成的動態化學習、建構過程，進行合理有效的教學設計。讓每個學習者經歷完整的認知過程。

三、透過習題的練習功能看到習題的學習功能

[教材舉例]

以蘇教版三年級下冊的“認識分數”為例：

在新授部分，教材引導學生認識一個整體的幾分之一；后面“想想做做”的第4題是這樣的：一堆小棒有12根，分別拿出這堆小棒的1/2和1/3，你還能拿出這堆小棒的幾分之幾?

[教材內涵透視]

上述“認識分數”的教材中，主要教學“把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，其中的一份可以用幾分之一表示”這個內容。為了加深學生對分數的理解，在練習中安排了逆向思考的習題，即題中給出幾分之一的分數。要求學生涂出或拿出相應的個數。“想想做做”第4題正是這樣的一道習題。學生要拿出這堆小棒的1/2，就要根據1/3這個分數的意義，先把這堆小棒平均分成2份，取出其中的1份，正好是6根小棒。在拿小棒的過程中，學生鞏固了對分數的認識，這是從普通的練習功能而言的，也只是我們孤立地站在這一堂課的教學內容來看待時所得出的結論。其實從這道習題中我們還能夠透過這種練習功能看到它的學習、拓展功能。這道習題與后面學習的“求一個數的幾分之幾是多少”有著一定的聯系，也是今后學習分數應用題的一個起點。它在起到鞏固本課概念的同時，也在為后續的分數學習作必要的鋪墊，這正是此習題的學習功能。

習題作為小學數學教材的重要組成部分，在每冊教材中都占有相當高的比例，以練習為主的練習課超過所有課時的1/3，加上新授課、復習課中的大量學生做練習的時間，或許可以說學生在數學學習中有60％以上的時間是在進行數學練習。在教學中我們也不難發現教材中有許多習題不僅僅是一個單純的鞏固練習，它們還承載著一定的學習功能。因此我們還要透過習題的練習功能看到其學習功能。

[精加工策略]在練習中拓展

基于以上認識，在練習中我們要注意適當的拓展，為今后的深入學習打下伏筆。我們可以設計這樣的練習過程：

(1)明確習題要求，讓學生拿出這堆小棒的1/2，并介紹自己拿了多少根以及為什么這樣拿。

(2)同樣的方法繼續拿這堆小棒的1/3，并解釋。

(3)回顧思考：拿出的根數不同，這與分數中的什么部分有關?是怎樣的關系?(在交流中懂得與分母有關，只要用總數除以平均分的份數，也就是除以分母就行了。)

(4)讓學生根據自己發現的特殊關系繼續拿12根小棒的幾分之一。

在這樣的練習中，教師一方面通過實際的操作思考強化了學生對分數意義的認識，還有意識地進行了拓展，把分數跟除法溝通起來，有利于今后系統學習分數與除法的關系以及分數乘法計算。

教師要對教材中大量習題的功能作出進一步的研究和把握，提高認識。尤其是在新教材中。改變了以往那種一道例題配幾道同類習題的形式，在例題和習題之間那種新授學習和鞏固練習的對應聯系已經與以往大相徑庭了，其邊界也比較模糊。因此，我們要在注重習題的練習鞏固這個短期功能的同時，進一步關注習題的長遠學習價值，通過解題來鍛煉和發展學生思維。這就需要我們對教材中的每一道習題進行充分研究、細心揣摩，透過習題的練習功能看到習題的學習功能，將習題用足、用好、用到位，發揮其應有價值。

四、透過教材的學科價值看到教材的課程價值

[教材舉例]

蘇教版教材三年級下冊“了解千米”中有這樣一道題目，要求學生到圖書館或網上去查找有關馬拉松長跑比賽、轎車在高速公路上行駛速度、磁懸浮列車速度、地球繞太陽每秒運行速度、世界最長的3條河流名稱及長度等資料。

[教材內涵透視]

顯然，這道題能夠進一步加深學生對千米的認識與體驗，但其中又整合了包括天文地理在內的不少知識，顯然編者是想讓學生在解決問題的過程中獲得更豐富的知識。另外，這許多知識又不是通過老師直接告訴而得到的，而是必須讓學生借助圖書館或者網絡途徑自主地去獲取。

類似的，教材中多處介紹中外數學發展的歷史，涉及數學家、數學研究方法、成就等內容，以習題、旁注、注釋、專題補充等多種形式出現。如在蘇教版四年級下冊“倍數和因數”單元后面，編者以“你知道嗎”的形式補充了哥德巴赫猜想的內容，并介紹了我國數學家陳景潤的研究成果。再如在空間和圖形知識學習時，安排了七巧板的有關史料，使學生感受幾何構圖的美學原理和前人的聰明才智。

從具體的課程目標中，我們可以發現新課程改革的基本價值趨向，即確立科學與人文融合的新教育價值觀，試圖通過這種聯系，讓學生更全面地提高學習能力，拓寬知識面，培養文化意識。蘇教版教材主編孫麗谷老師在談到數學學科的課程價值時表示：要注重讓學生充分感受數學與現實的聯系，從而體會數學的價值，增進理解和應用數學的信心；讓學生初步體驗數學與自然科學和人文科學之間的關系，對學生進行科學教育和審美教育；讓學生初步了解有關的數學背景知識，幫助學生了解數學發生、發展的過程。激發學習數學的興趣；讓學生學會用各種資源進行學習，豐富學習活動，改善學習方式。

因此，我們在鉆研教材時還要透過教材的學科價值看到教材的課程價值。

[精加工策略]在整合中提升

基于這樣的認識，我們在教學設計中必須要注重在引導學生數學學習的同時，整合多種學習內容和學習方式，提升數學學習的課程價值。首先，教師要利用有關的習題，創設機會，讓學生通過多種途徑去獲取相關的知識。比如可以結合信息技術的應用，將數學學習與之整合，全面提升學生知識素養和信息技術應用素養；也可以讓學生深入到圖書館、深入到生活中去了解相關知識，豐富學生的知識面。其次，教師還可以充分借助書本上的有關數學史，相機介紹古代數學家和數學研究成果，讓學生在聽故事、讀故事中培養愛國主義思想和民族自豪感，得到人文精神的熏陶。

總之，我們在鉆研教材時，在挖掘數學知識技能學習和思維訓練等本學科固有的價值的同時。注重挖掘教材的課程價值，甚至可以補充、整合相關人文知識，讓學生在數學學習的同時，得到多方面綜合素質的提升。

(作者單位 無錫市濱湖區教育研究發展中心)