偏好序距離與投票數(shù)為基數(shù)時(shí)Ｂａｎｚｈａｆ權(quán)力指數(shù)的推廣

[摘要] 在二元選擇下，測(cè)算加權(quán)投票制表決權(quán)的大小有兩種廣泛被接受的方法，即Shapley-Shubik指數(shù)法與Banzhaf指數(shù)法，但它們都不能解決多備選方案或多候選人時(shí)決策個(gè)體的權(quán)力問(wèn)題，更不能解決在加權(quán)投票制下群體對(duì)多方案或多候選人進(jìn)行排序時(shí)決策個(gè)體的權(quán)力問(wèn)題。本文利用排序距離來(lái)度量不同群體偏好序差異，從而提出了加權(quán)投票制下群體對(duì)多方案或多候選人進(jìn)行排序時(shí)決策個(gè)體的權(quán)力計(jì)算方法，此方法是投票數(shù)為基數(shù)下Banzhaf權(quán)力指數(shù)的推廣，最后，進(jìn)行了實(shí)例分析。

[關(guān)鍵詞] 權(quán)力偏好序加權(quán)投票制

自從1954年Shapley和Shubik開(kāi)創(chuàng)性地研究了委員會(huì)中個(gè)人在二元選擇下權(quán)力分布的測(cè)算問(wèn)題以來(lái)，不少人對(duì)二元選擇下的權(quán)力指數(shù)進(jìn)行了深入研究，出現(xiàn)了Shapley-Shubik指數(shù)、Banzhaf指數(shù)、Johnston指數(shù)和Deegan-Packel指數(shù)。其中，Banzhaf權(quán)力指數(shù)在實(shí)際的計(jì)算中被廣泛應(yīng)用，在美國(guó)紐約州法院一些案例的判決中，就是用Banzhaf權(quán)力指數(shù)去測(cè)度法官的權(quán)力并以這種計(jì)算作為衡量投票權(quán)重分配公正性的標(biāo)準(zhǔn)。Felsenthal等人也正是用 Banzhaf權(quán)力指數(shù)去分析歐盟委員會(huì)各國(guó)代表的投票權(quán)重分配的合理性。但在二元選擇下的權(quán)力指數(shù)包括Banzhaf權(quán)力指數(shù)不能測(cè)算多方案下的決策個(gè)體權(quán)力問(wèn)題，在二元選擇的條件下，為了節(jié)省時(shí)間通過(guò)一次表決就能得到結(jié)果，一般投票總數(shù)往往取基數(shù)，那么，在投票數(shù)是基數(shù)的條件下研究多方案下如何推廣Banzhaf權(quán)力指數(shù)就具有一定的意義。

一、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

在加權(quán)投票制的條件下，決策個(gè)體的權(quán)力大小取決于他的投票對(duì)選舉結(jié)果的影響。對(duì)于二元選擇，即投票在兩種觀點(diǎn)中進(jìn)行，且以多數(shù)票決定勝負(fù)的情況下，對(duì)于決策個(gè)體 的表決權(quán)，Shapley-Shubik權(quán)力指標(biāo)是這樣定義的:設(shè)決策個(gè)體按照某種排列先后投票，這時(shí)投贊成票的決策個(gè)體不斷增加，若某個(gè)決策個(gè)體恰好排在他投贊成票之后就可以通過(guò)議案的位置，則稱(chēng)該決策個(gè)體是這種排列的中軸。在所有可能的排列中，決策個(gè)體 成為中軸的概率大小就表明他權(quán)力的大小。

對(duì)于決策個(gè)體 的表決權(quán)，Banzhaf權(quán)力指標(biāo)定義與Shapley-Shubik權(quán)力指標(biāo)定義的最大不同在于它將排列改為組合，其定義為:在投贊成票（或投反對(duì)票）的決策個(gè)體的組合中，若某人改變投票將改變?cè)薪Y(jié)果，那么稱(chēng)此決策個(gè)體處于擺動(dòng)地位，或稱(chēng)他為擺動(dòng)者。在所有可能的組合中決策個(gè)體i成為擺動(dòng)者的次數(shù)記為αi，則Banzhaf權(quán)力指標(biāo)βi為：（1）

在多個(gè)備選方案或多個(gè)候選人的加權(quán)投票決策中，決策個(gè)體的權(quán)力是無(wú)法用測(cè)度二元選擇下的權(quán)力指數(shù)來(lái)衡量的。Bolger注意到了這一事實(shí)，他通過(guò)推廣了Banzhaf權(quán)力指標(biāo)中的擺動(dòng)者，于是將Banzhaf權(quán)力指數(shù)推廣到群體從多個(gè)方案或多個(gè)候選人中選擇一個(gè)的加權(quán)投票制的情形。但在實(shí)際問(wèn)題中的多個(gè)方案或多個(gè)候選人的群決策問(wèn)題，不僅僅是“多擇一”的，許多情況下是對(duì)多個(gè)方案或多個(gè)候選人進(jìn)行排序。例如，按名次進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)的各種評(píng)獎(jiǎng)活動(dòng)和一些體育比賽都需要群體對(duì)被選方案進(jìn)行排序。對(duì)于決策個(gè)體有不同的權(quán)重，每個(gè)決策者只選擇一個(gè)方案，各方案按得票多寡進(jìn)行排序的加權(quán)投票制的決策個(gè)體的權(quán)力大小用Bolger的方法也不能進(jìn)行計(jì)算。文和文通過(guò)構(gòu)建群體偏好的距離得到了多方案排序的加權(quán)投票制決策個(gè)體權(quán)力的計(jì)算方法，但這些方法不能構(gòu)成為Banzhaf權(quán)力指數(shù)的推廣，本文通過(guò)構(gòu)建群體偏好閔可夫斯基距離在投票數(shù)是基數(shù)的條件下將Banzhaf權(quán)力指數(shù)推廣到多方案排序的加權(quán)投票制決策個(gè)體權(quán)力的計(jì)算問(wèn)題。

二、群體對(duì)方案不同排序的閔可夫斯基距離距離

在所討論的加權(quán)投票選舉模型中，每個(gè)決策個(gè)體只投一個(gè)候選人的票。設(shè)有n個(gè)決策人權(quán)重向量為W={w1，w2，Λ，wn}，有k個(gè)方案，方案集為:P={p1，p2，Λ，pk}。取Γj為選擇第j個(gè)方案pj的投票人的集合，|Γj|為方案pj的總得票數(shù)。由于每個(gè)決策人都得投某個(gè)方案的票，那么，對(duì)于任意的決策人i，就存在一個(gè)Γj，使i∈Γj。我們稱(chēng)向量Γ=(Γ1，Γ2，Λ，Γk)為n個(gè)投票人在k個(gè)方案中的安排。對(duì)于任意一個(gè)n個(gè)投票人在k個(gè)方案中的安排Γ，各方案的得票多寡就確定了，那么，在給定的方案排序規(guī)則ρ下，這 個(gè)方案的排序也就確定了。用pj1*pj2*Λ*pjk表示k個(gè)方案排成的序，其中pji∈P，(j1，j2，Λ，jk)是(1，2，Λ，k)的某種排列;*或是“>”（表示一個(gè)嚴(yán)格次序或優(yōu)于），或是“=”（表示相等或無(wú)差異）。將 Γ確定的k個(gè)方案的排序記為:ρ(Γ)。

現(xiàn)在考慮決策個(gè)體 的不同投票行為對(duì)方案排序的影響。在Γ中設(shè)i投方案ph的票，在其它投票人的投票不變的情況下，讓i改變投pl的票就形成一個(gè)新的安排Γ`。那么，由Γ變?yōu)棣時(shí)，方案ph的的票就減少，同時(shí)，方案pl的的票就增加。決策人的不同投票行為就使方案ph的排序往后移，使方案pl的排序往前移。那么，i的權(quán)力就應(yīng)隨決策個(gè)體i的不同投票方案ph后移的位序的增加或方案pl前移的位序的增加而增加。為了明確決策個(gè)體i的不同投票行為對(duì)方案排序的不同影響，需要構(gòu)造群體偏好序的距離來(lái)計(jì)算。

對(duì)于任意一個(gè)n個(gè)投票人在 個(gè)方案中的安排Γ，方案的排序就確定了。對(duì)于給定的k個(gè)方案的排序ρ(Γ)，各方案就有一個(gè)名次與之對(duì)應(yīng)，最優(yōu)的方案為第1，無(wú)差別或相等的方案名次相同，但有幾個(gè)方案名次并列，它們就占用了幾個(gè)名次序。例如，有4個(gè)方案:p1、p2、p3和p4，它們之間的排序關(guān)系為:p1＞p2=p3＞p4，那么，這4個(gè)方案的名次就為:p1為第1，p2和p3為第2，p4為第4而不是第3，原因是p3占用了一個(gè)名次。若方案i的名次為xi，可記群體偏好序ρ(Γ)為名次序向量(x1，x2，Λ，xk)。對(duì)于任意兩個(gè)序ρ(Γ)與ρ(Γ`):

ρ(Γ):(x1，x2，Λ，xk)

ρ(Γ`):(x`1，x`2，Λ，x`k)

序ρ(Γ)與ρ(Γ`)代表的群體偏好差異我們用閔可夫斯基距離來(lái)衡量，稱(chēng)為群體偏好的排序ρ(Γ)與ρ(Γ`)的距離： （2）

式中q，為距離參數(shù)。當(dāng)q=1時(shí)，便為線性距離;當(dāng)q=2時(shí)，便為歐幾里得距離;當(dāng)q→∞時(shí)，便為車(chē)比雪夫距離。

如果決策個(gè)體i，原來(lái)投方案ph的票時(shí)群體對(duì)方案的排序?yàn)?ρ:p1*p2*Λ＊pk，決策個(gè)體i改變投票投pl后，pl的排序就會(huì)提升，設(shè)pl在提升的過(guò)程中比原來(lái)多優(yōu)于了i個(gè)方案，而方案ph的排序往后移使之多劣于j個(gè)方案由此產(chǎn)生的群體偏好序?yàn)棣裛。ρ`的變化有多種可能，下面我們分不同的情況討論:

第一，在ρ中pl不劣于ph時(shí)，由ρ變?yōu)棣裛，就有k-i-j-2個(gè)方案的名次不變;方案ph的名次由h變?yōu)閔-j;有i個(gè)方案的名次比原來(lái)的名次減少1;方案pl的名次由l變?yōu)閘+i;有j個(gè)方案的名次比原來(lái)的名次增加1。那么，d(ρ，ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;

第二，在ρ中ph不劣于pl時(shí)，又分兩種情況:第一，由ρ變到ρ`后， ph仍不劣于pl，由ρ變?yōu)棣裛，就有k-i-j-2個(gè)方案的名次不變;方案ph的名次由h變?yōu)閔-j;有i個(gè)方案的名次比原來(lái)的名次減少1；方案pl的名次由l變?yōu)閘+i;有j個(gè)方案的名次比原來(lái)的名次增加1。那么，d(ρ，ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;第二，由ρ變到ρ`后，ph劣于pl，那么，同時(shí)被ph和pl置換的方案數(shù)最大時(shí)為m，m應(yīng)滿足m＜i且m＜j。于是，由ρ變?yōu)棣裛，就有k+m-i-j-2個(gè)方案的名次不變;方案ph的名次由h變?yōu)閔-j;有i-m個(gè)方案的名次比原來(lái)的名次減少1;方案pl的名次由l變?yōu)閘+i;有j-m個(gè)方案的名次比原來(lái)的名次增加1。那么，d(ρ，ρ`)=[jq+iq+j+i-2m]1/q。對(duì)于實(shí)數(shù)q＞1，d(ρ，ρ`)隨i或j增加而增加。這說(shuō)明，當(dāng)q＞1時(shí)，決策個(gè)體i的不同投票由ρ變?yōu)棣裛時(shí)，使ph的排序往后移的位序的增加或使方案pl的排序往前移的位序的增加，ρ與ρ`的距離也增加，i的權(quán)力就應(yīng)增加。這樣序ρ到序ρ`的距離，就反映了該種轉(zhuǎn)變的難易程度。即距離越長(zhǎng)，則從序ρ變到序ρ`的難度就愈大，能促成這種變化的決策個(gè)體的權(quán)力就越大。相應(yīng)地，在計(jì)算決策個(gè)體權(quán)力大小時(shí)，就讓距離參數(shù)q＞1。

三、決策個(gè)體權(quán)力大小的計(jì)算方法

表決權(quán)是一種相對(duì)概念，既相對(duì)于其它決策個(gè)體權(quán)力大小，也相對(duì)于其它決策個(gè)體如何投票。為此我們從以下角度來(lái)定義決策個(gè)體i的權(quán)力。

設(shè)p={p1，p2，Λ，pk}表示候選人集合，N={1，2，Λ，n}表示決策個(gè)體組成的集合，W={w1，w2，Λ，wn}為決策個(gè)體的加權(quán)數(shù)，決策個(gè)體按擁有的權(quán)數(shù)一次只投一個(gè)候選人，k維向量Γ=(Γ1，Γ2，ΛΓk)為n個(gè)投票人在k個(gè)方案中的安排。Γ-i表示n個(gè)投票人缺少i時(shí) n-1個(gè)投票人在k個(gè)方案中的安排，表示在Γ-i的基礎(chǔ)上加入投票人i投方案ph時(shí)形成的n個(gè)投票人在k個(gè)方案中的安排。那么，當(dāng)h≠l時(shí)，和確定的方案排序和就可以分別表示在其它投票人的投票不變的情況下，即向量Γ-i不變的情況下，i投ph時(shí)的方案排序和投pl時(shí)的方案排序。

對(duì)于給定的Γ-i，i投方案ph時(shí)的方案排序的名次序向量為:(x1，x2，Λ，xk)。i改投方案pl產(chǎn)生的方案排序的名次序向量為:(x`1，x`2，Λ，x`k)。方案排序和的不同用方案排序和的距離定義，為：(3)

距離一般取為歐幾里得距離或車(chē)比雪夫距離。讓h遍歷1到k的k個(gè)正整數(shù)，為了避免重復(fù)計(jì)算就讓l遍歷h+1到k的所有正整數(shù)，就得到了給定的Γ-i，i的表決權(quán):再讓?duì)?i遍歷所有的n個(gè)投票人缺少i時(shí)n-1個(gè)投票人在k個(gè)方案中的安排，就得到了i的最終表決權(quán):（4）其相對(duì)表決權(quán)為:(5)

當(dāng)方案數(shù)為2時(shí)，在投票數(shù)是基數(shù)的條件下，利用（5）式計(jì)算的決策個(gè)體的權(quán)力大小與用Banzhaf權(quán)力指數(shù)的計(jì)算一致，即在投票數(shù)是基數(shù)的條件下，（5）式計(jì)算方法是Banzhaf權(quán)力指數(shù)的擴(kuò)張。這是因?yàn)楫?dāng)方案數(shù)為2時(shí)，在投票數(shù)是基數(shù)的條件下，決策個(gè)體改變投票若改變投票結(jié)果， 在Banzhaf權(quán)力指數(shù)算法中決策個(gè)體就是擺動(dòng)者，計(jì)數(shù)1；而在上述的計(jì)算中，決策個(gè)體改變投票若改變投票結(jié)果就是將原有的排序向量(1，2）改變?yōu)?2，1）或者將(2，1）改變?yōu)?1，2），此時(shí)距離就為 。計(jì)算相對(duì)權(quán)力大小后，結(jié)果是一致的。

四、決策個(gè)體權(quán)力的計(jì)算示例

設(shè)決策個(gè)體的集合N={甲，乙，丙}，方案集為p={p1，p2，p3}，給甲、乙、丙三個(gè)決策個(gè)體賦予權(quán)數(shù)分別為1，2，3。規(guī)定每人只投票給一個(gè)方案，按方案的得票多寡來(lái)確定這三個(gè)方案的獲獎(jiǎng)名次，現(xiàn)決定甲、乙、丙的表決權(quán)。

先看丙的表決權(quán)。取距離參數(shù)q=2。在丙未參加投票時(shí)，甲、乙給這三種方案的不同投票組合有9種。

當(dāng)甲和乙同時(shí)投票給p1時(shí)，丙也投p1，方案p1就得到6票，p2，p3各得0票，ρ1:p1＞p2=p3就是甲、乙和丙此時(shí)認(rèn)同的群體偏好序，對(duì)應(yīng)的名次序向量便為:（1，2，2）。丙由投p1改投p2，由于丙擁有的加權(quán)數(shù)為3，ρ2:p1=p2＞p3就是甲、乙和丙此時(shí)認(rèn)同的偏好序，對(duì)應(yīng)的名次序向量為:（1，1，3）。那么d(ρ1，ρ2)=[(1-1)2=(2-1)2+(2-3)2]1/2=;同樣，丙由投p1改投 p2，由于丙擁有的加權(quán)數(shù)為3，ρ3:p3=p1＞p2就是甲、乙和丙認(rèn)同的偏好序，對(duì)應(yīng)的名次序向量為:（1，3，1）。那么d(ρ1，ρ3)=[(1-1)2=(2-3)2+(2-1)2]1/2=;丙由投p2改投p3，方案排序就是由ρ2變成ρ3，那么d(ρ2，ρ3)=[(1-1)2=(1-3)2+(3-1)2]1/2=。那么，在甲和乙同時(shí)投p1時(shí)，丙的權(quán)力就是以上三個(gè)不同距離之和為:5.659。

以上給出了特定情況下的決策個(gè)體權(quán)力的計(jì)算方法。若要計(jì)算決策個(gè)體的絕對(duì)權(quán)力，讓甲、乙取遍甲、乙所有的不同的9種投票組合，同樣能計(jì)算出丙在不同情況下的權(quán)力大小，將它們加起來(lái)，就得到丙的表決權(quán):α丙=65.609。

同理:α甲=22.243；α乙=50.144。從而可計(jì)算出甲、乙、丙的相對(duì)權(quán)力為:（0.161，0.363，0.476）。

再設(shè)有甲、乙、丙和丁四個(gè)決策人，他們的選票分別為6、5、3和1，總選票數(shù)是基數(shù)，他們投票對(duì)兩個(gè)方案排序。無(wú)論取距離為歐幾里得距離還是其他距離，容易計(jì)算出甲、乙、丙和丁的相對(duì)權(quán)力為:1/3、1/3、1/3、0）。用Banzhaf權(quán)力指數(shù)進(jìn)行計(jì)算結(jié)果是一樣的。

五、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)群體排序距離建立基于方案排序的加權(quán)投票制的權(quán)力測(cè)度模型，不單可以用于測(cè)度方案排序的加權(quán)投票制決策個(gè)體的權(quán)力大小，還可以用于分析方案排序的加權(quán)投票制中權(quán)重分配的合理性。此外，應(yīng)該注意到，該權(quán)力測(cè)度模型與排序的距離參數(shù) 息息相關(guān)，例如，在上例中，若取q=2，即排序距離為歐幾里得距離時(shí)，甲、乙、丙的相對(duì)權(quán)力為:（0.161，0.363，0.476）;q→∞，即排序距離為車(chē)比雪夫距離時(shí)，甲、乙、丙的相對(duì)權(quán)力為:（0.233，0.367，0.400）。這是由于q值越大，距離就越側(cè)重于名次序變化較大的方案所置換另外方案的個(gè)數(shù)造成的。當(dāng)方案數(shù)為2時(shí)，在投票數(shù)是基數(shù)的條件下，Banzhaf權(quán)力指數(shù)就與基于方案排序距離權(quán)力計(jì)算法是一致的，基于方案排序距離的權(quán)力計(jì)算法可視為在投票數(shù)是基數(shù)的條件下Banzhaf權(quán)力指數(shù)的推廣。