破解數(shù)學(xué)思維“死角”探析

數(shù)學(xué)思維“死角”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的認(rèn)知盲區(qū)，這個認(rèn)知盲區(qū)是由于沒有形成辯證思維造成的，它不同于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一般性錯誤。因此，我們有必要對小學(xué)生進(jìn)行辯證思維的啟蒙教育。

一、數(shù)學(xué)思維“死角”有多種表征，既有對思維品質(zhì)潛在的不良影響，又有對小學(xué)生進(jìn)行辯證思維啟蒙教育的利用

價值

1.隱蔽性。

數(shù)學(xué)思維“死角”與學(xué)生的思維活動密切相關(guān)，常隱蔽在一般思維活動之后，不易察覺，只有在解決具體問題時出現(xiàn)的阻礙和困難中，才得以顯現(xiàn)。隱蔽性在特例、特解、錯題、錯解，以及抽象的概念、結(jié)論的運(yùn)用、變式的練習(xí)中表現(xiàn)較為顯著。

2.延續(xù)性。

在環(huán)境不變的情況下，積極的定勢思維能使人運(yùn)用已掌握的方法迅速解決問題，而數(shù)學(xué)思維“死角”的形成，會對學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響，從而形成消極的思維定勢，使學(xué)生對事物的認(rèn)識總是擺脫不了已有框架的“束縛”。思維“死角”的延續(xù)性，常常表現(xiàn)在新舊知識的遷移處和相近知識的連接處。

3.差異性。

對于同一年齡層次的學(xué)生來說，思維及數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有共性之處，又有其自身的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維“死角”亦然，表現(xiàn)在不同的學(xué)生對相同的問題或同一個學(xué)生對不同特點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識，認(rèn)知盲區(qū)的表現(xiàn)方式和程度各不相同。

4.資源性。

當(dāng)思維“死角”出現(xiàn)時，如果能正視并根據(jù)思維“死角”的特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生及時調(diào)整思維的角度、起點(diǎn)，思維“死角”就能成為重要的教學(xué)資源，對提升學(xué)生的思維品質(zhì)大有益處。

二、數(shù)學(xué)思維“死角”的形成，源于教材呈現(xiàn)方式的局限、教師辯證思維的缺失、學(xué)生辯證思維的空白等方面，需

要教師綜合分析，對癥下藥

教材的原因：教材呈現(xiàn)的是作為結(jié)果的與經(jīng)過邏輯加工的數(shù)學(xué)理論體系，沒有揭示概念的發(fā)展、定律的發(fā)現(xiàn)、思路的猜測、方法的選擇，以及數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、應(yīng)用的探索過程。學(xué)生在把靜態(tài)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為動態(tài)的知識結(jié)構(gòu)的過程中，思維“死角”就會不可避免地產(chǎn)生。雖然數(shù)學(xué)家和編者的思維方式或隱或現(xiàn)地存在于教材中，卻代替不了學(xué)生的思維方式，兩者之間的脫榫，形成了學(xué)生的思維“死角”。

案例1：“數(shù)的整除”教學(xué)片斷

“為了方便，我們在研究約數(shù)和倍數(shù)時，所說的數(shù)一般指不是零的自然數(shù)。”

這句話中的“一般”，使該單元的教學(xué)年年在爭論和分歧中進(jìn)行。“一般指不是零的自然數(shù)”，那么何時考慮零？何時忽視零?最小的合數(shù)是4，零呢?任何非零整數(shù)都是零的約數(shù)，而合數(shù)的概念正是依據(jù)一個數(shù)約數(shù)個數(shù)的多少來界定的。再者，零是偶數(shù)，因?yàn)榱隳鼙?整除，那么零為什么不是奇數(shù)?零也能被奇數(shù)整除。像上述這些問題都沒有把零排除在外，所以爭論也就不可避免。

有些數(shù)學(xué)思維“死角”的形成，則是數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)所致。數(shù)學(xué)的對象是抽象思維的產(chǎn)物，學(xué)科本身的高度抽象與學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)之間的矛盾，決定了形成數(shù)學(xué)思維“死角”的必然性。因此，在課程實(shí)施中，教師要在充分把握學(xué)生現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，尋找更為合理的教學(xué)落腳點(diǎn)，使凝結(jié)于教材的數(shù)學(xué)家的成熟思維方式通過教師的教學(xué)加工而轉(zhuǎn)化為學(xué)生積極主動、科學(xué)合理的思維方式，很好地彌補(bǔ)了教材呈現(xiàn)的不足。

教師的原因：教學(xué)行為是教師思維方式的外顯，教師自身的思維方式很大程度上影響學(xué)生的思維過程。由于教師自身辯證思維的欠缺，加之教師的主觀意識、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、教育機(jī)智等因素，教學(xué)實(shí)際中總會出現(xiàn)一些教師預(yù)設(shè)時不曾料想的細(xì)節(jié)，有的被疏忽，成為教學(xué)的遺憾；有的在教學(xué)中被捕捉與挖掘，成為課堂生成的亮點(diǎn)，彌補(bǔ)了預(yù)設(shè)的不足。

案例2：“分?jǐn)?shù)與除法”教學(xué)片斷

把3塊餅平均分給4個小朋友，每個小朋友分得多少塊?

想：求每個小朋友分得多少塊，要算3÷4得多少。

從圖中可以看出，每個小朋友分得3個1/4，就是3/4塊，所以3÷4=3/4(塊)。

答：每個小朋友分得3/4塊餅。

每個小朋友分得3/4塊餅，相當(dāng)于3塊餅的1/4，從另一個角度看，則相當(dāng)于1塊餅的3/4。一個分?jǐn)?shù)從不同的角度看，有其不同的含義。如此重要的知識內(nèi)涵，由于教師預(yù)設(shè)的欠缺，造成學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義理解的膚淺與不全面。要克服思維盲區(qū)，教師就要結(jié)合自身的思維方式，運(yùn)用唯物辯證法的觀點(diǎn)，從不同的角度改進(jìn)自身對現(xiàn)象和問題的看法。教師要對教學(xué)內(nèi)容有本質(zhì)的理解和深刻的把握，不斷積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)預(yù)設(shè)時要從學(xué)生的角度預(yù)想教學(xué)的可能性，使數(shù)學(xué)家與編者的思維方式、學(xué)生的思維方式通過教師的思維活動架設(shè)橋梁，實(shí)現(xiàn)三者之間的平衡。

學(xué)生的原因：學(xué)生是課程實(shí)施過程中重要的教育資源。學(xué)生思維的基本特點(diǎn)是以具體形象思維為主要形式，并逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然與學(xué)生直接的、感性的經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，由于知識經(jīng)驗(yàn)、社會閱歷、思維水平等因素，對數(shù)學(xué)知識的掌握停留在表象的概括上，不能脫離具體形象形成抽象的概念，缺乏辯證的思維方式，決定了學(xué)生思維方式的單一，容易出現(xiàn)認(rèn)知盲區(qū)，形成數(shù)學(xué)思維“死角”。

案例3：一輛汽車從相距120千米的甲地到乙地，去時用了2小時，回來時用了2.5小時，求這輛汽車往返的平均速度。

錯誤解答：(120÷2+120÷3)÷2=(60+40)÷2=50(千米)

很顯然，學(xué)生求的不是往返的平均速度。面對學(xué)生的錯誤理解，教師該怎么辦?是簡單否定還是直接告知?教師不妨利用數(shù)形結(jié)合，辨析算法的真?zhèn)危瑤椭鷮W(xué)生理解平均數(shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，加深對“平均數(shù)”這一概念的深刻認(rèn)識。

面對教學(xué)過程中學(xué)生出現(xiàn)的“意外”，教師應(yīng)及時調(diào)整教學(xué)預(yù)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生全面、辯證地思考數(shù)學(xué)問題，只有這樣，學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解才不至于浮于表面，而是有機(jī)地深入到數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)核中去。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，思維“死角”隨處可遇，關(guān)鍵是教師要練就一雙慧眼，把“思維死角”作為調(diào)整教學(xué)策略的著眼點(diǎn)，有效地克服學(xué)生的思維“死角”。

三、辯證思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維方式的最高境界，思維“死角”是對學(xué)生進(jìn)行辯證思維啟蒙教育重要的課程資源

教師要運(yùn)用多種途徑和方法，打開進(jìn)入思維“死角”的入口，幫助學(xué)生消滅思維“死角”，掌握初步辯證思維的方法，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

1.從少數(shù)學(xué)生的聲音中發(fā)現(xiàn)思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供平臺。

課堂教學(xué)是動態(tài)生成的，常常會出現(xiàn)少數(shù)學(xué)生的聲音。遺憾的是，有的教師面對少數(shù)學(xué)生的聲音，不是以“這個問題我們課后再討論”來搪塞，避而不談，就是用“你真是個愛動腦筋的孩子”來敷衍，既不肯定也不否定，許多優(yōu)質(zhì)教育資源就這樣與我們失之交臂。其實(shí)，這種聲音正是學(xué)生思維的真實(shí)暴露。如果是正確的，不正好完善與豐富我們的預(yù)設(shè)，提高了學(xué)生認(rèn)知的平臺，增添教學(xué)的亮點(diǎn)嗎?如果是片面的、膚淺的，甚至是錯誤的，從中我們更能獲得一些重要的教育信息：教學(xué)預(yù)設(shè)有哪些不足?教學(xué)思路該如何調(diào)整?教學(xué)問題如何設(shè)計?怎樣促進(jìn)學(xué)生辯證數(shù)學(xué)觀念的形成?……如一位教師教學(xué)“軸對稱圖形”一課時，學(xué)生對平行四邊形是否是軸對稱圖形產(chǎn)生分歧。面對學(xué)生的思維誤區(qū)，教師不是直接告知，也不是簡單地否定，而是利用少數(shù)學(xué)生的聲音組織學(xué)生辯論，使學(xué)生準(zhǔn)確地把握軸對稱圖形的內(nèi)涵。正是少數(shù)人的認(rèn)知“死角”，使得學(xué)生的認(rèn)知在爭辯中由模糊、膚淺走向清晰與深刻。

教師要智慧地對待少數(shù)學(xué)生的聲音。(1)要認(rèn)真傾聽，善于甄別、篩選，及時捕捉，使少數(shù)學(xué)生的聲音成為有效的教學(xué)資源，回避、敷衍或強(qiáng)制學(xué)生接受教師觀點(diǎn)的教學(xué)策略，都不是有智慧的教育。(2)建立和諧、民主的師生關(guān)系，營造輕松、愉悅的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生在課堂中敢說、敢想、敢做，若過分強(qiáng)調(diào)教師的中心觀念，學(xué)生的認(rèn)知就會出現(xiàn)盲區(qū)。(3)鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難。質(zhì)疑問難是探求知識、發(fā)現(xiàn)問題的開始，學(xué)生也容易暴露思維盲區(qū)，成為教學(xué)中可以利用的資源。

2.在錯題、錯解中發(fā)現(xiàn)思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供“反例”。

學(xué)生的錯題、錯解中最容易暴露學(xué)生的思維歷程是全面的還是片面的，是膚淺還是深刻。因此，教師要善于從學(xué)生的錯題和錯解中捕捉學(xué)生的思維“死角”，進(jìn)行理性反思，有利于加深思維層次，彌補(bǔ)認(rèn)知盲區(qū)，消滅思維“死角”，建立完整的知識體系。如用分?jǐn)?shù)表示下圖中的涂色部分：

相當(dāng)多的學(xué)生認(rèn)為，涂色部分應(yīng)該用分?jǐn)?shù)3/4表示。由整數(shù)過渡到分?jǐn)?shù)是學(xué)生數(shù)的概念的一次飛躍，特別是許多物體組成的整體平均分成若干份，其中的一份或幾份既可用整數(shù)又可用分?jǐn)?shù)來表示，學(xué)生感到不適應(yīng)。在用分?jǐn)?shù)表示涂色部分時，“物體的總數(shù)”、“每份的個數(shù)”、“平均分的份數(shù)”、“表示的份數(shù)”等幾個概念相互干擾，容易混淆，實(shí)際上是學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義理解的模糊。鑒于以上理解偏差，教師在教學(xué)中不妨讓學(xué)生真實(shí)的思維表現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、討論爭辯，不斷深化對概念內(nèi)涵的理解，以錯引思、以錯促思，使學(xué)生的思維由混沌走向清晰，逐漸形成良好的思維品質(zhì)。

教師要善于利用學(xué)生的錯題、錯解。(1)善于總結(jié)。當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題解決后，教師要引導(dǎo)學(xué)生從解題的方法、規(guī)律、思維策略等方面進(jìn)行總結(jié)與反思，力圖從解決問題中發(fā)現(xiàn)新的普遍使用的東西。(2)善于引申。當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題解決后，教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生引申，探求一題多解、多題一解、一題多思，擴(kuò)大學(xué)生的視野，深化認(rèn)識。(3)善于變化。許多試題來源于課本卻高于課本，以至于常出常新，但其基本知識并未變化。所以習(xí)題講解時，原題講解后，教師要善于把原題進(jìn)行變化，對某一知識從多角度、多側(cè)面和不同的起點(diǎn)進(jìn)行思考。(4)善于建構(gòu)。習(xí)題講解時，重點(diǎn)講錯例、錯解，不僅講錯誤原因所在，而且要與學(xué)生一起探索防錯的策略，讓學(xué)生不僅會做一道題或者一類題，更重要的是學(xué)會如何去建構(gòu)自己的知識體系。

3.在學(xué)生參與試題編制中發(fā)現(xiàn)思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供機(jī)會。

鼓勵學(xué)生編制數(shù)學(xué)試題，其實(shí)是換一種更能激發(fā)學(xué)習(xí)積極性的方式檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，了解教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度，反饋教學(xué)效果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識缺口，以便教師針對實(shí)際情況及時查漏補(bǔ)缺。讓學(xué)生參與試題編制是教學(xué)中創(chuàng)造生成機(jī)會的重要手段，是確立學(xué)生為主體的最突出表現(xiàn)，為辯證思維的初步形成提供機(jī)會。如：一根繩子，第一次用去它的1/2，第二次用去1/3米，還剩多少米?這是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義后學(xué)生編制的試題，從中不難看出，學(xué)生對分率與數(shù)量兩個抽象概念含糊不清。針對這種情況，教師可利用“一根長3米的繩子，平均分成4段，每段占全長的幾分之幾”等類似的題目，不斷變換繩子的總米數(shù)，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解分率與數(shù)量的概念。最后再啟發(fā)學(xué)生思考“如果不告訴繩子的總長，哪一問就無法解答”，以此區(qū)別分率與數(shù)量的不同，為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)提前掃清思維障礙。通過在教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，促使他們形成全面地、發(fā)展地看待問題的觀點(diǎn)。

教師要有效地指導(dǎo)學(xué)生參與試題的編制。(1)鼓勵學(xué)生模仿編題，改變試題，翻新編題。(2)及時評價學(xué)生編制的試題。對于學(xué)生編制的試題，教師應(yīng)在肯定的同時指出不足和需要改進(jìn)之處，也可組織學(xué)生互評，在對所編制試題的不斷完善與修改過程中逐步形成正確的認(rèn)知。(3)鼓勵學(xué)生根據(jù)自己所考慮的問題，或是模糊不清、感覺困惑、疑問的知識編制試題，讓學(xué)生在辨誤中“悟誤”。(4)抓住編題的時機(jī)。課前編以舊引新的復(fù)習(xí)題，課中編貼近教材的即時練習(xí)題，課后編綜合且開放的提高題。

4.在教師的提問(追問)中發(fā)現(xiàn)思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供動力。

設(shè)計有價值的數(shù)學(xué)問題，可以促進(jìn)教學(xué)預(yù)設(shè)的順利進(jìn)行，是師生互動交流與實(shí)現(xiàn)教學(xué)反饋的重要手段，有助于拓寬學(xué)生思維的廣度和深度。在教師的提問(追問)中，學(xué)生逐漸認(rèn)識到思維的局限與偏差，及時調(diào)整思路，將思維活動直接指向問題解決，優(yōu)化課堂教學(xué)過程。

案例4：“平均數(shù)”教學(xué)片斷

出示男女生套圈成績統(tǒng)計圖(略)。

提問：要比較哪一隊套得多，你打算怎樣去比較?(女生中吳燕套得最多，所以女生隊套得多)

追問：一個人的成績能代表全隊的成績嗎?(先求出每一隊中一共套多少個，再進(jìn)行比較)

追問：兩個隊的人數(shù)不一樣多，這樣的比較公平嗎?(不公平)

追問：怎樣比較才公平?(先求出每個隊中平均每人套多少個，再比較哪個隊套得準(zhǔn))

再追問：生活中還有哪些地方用求平均數(shù)的方法解決問題?

學(xué)生的回答，暴露了學(xué)生解決問題方法單一和受思維定勢的負(fù)面影響。而教師富有啟發(fā)性的提問，起到了四兩撥千斤的作用，將學(xué)生的思維引向深入，引向問題解決。“生活中還有哪些地方用求平均數(shù)的方法解決問題”的追問，加深了學(xué)生對平均數(shù)問題的深刻理解。

教師要掌握提問技巧。(1)教師要把握提問的時機(jī)，在新知識的生長點(diǎn)、新舊知識的連接點(diǎn)、學(xué)生思維受阻時巧妙設(shè)問，把凝結(jié)于教材中的思維活動充分展開。(2)加強(qiáng)課堂提問的有效示范。教師的問題意識、問題產(chǎn)生過程、提問的表達(dá)方式、提出不同問題的思維方式，都會對學(xué)生起到潛移默化的作用。(3)針對思維盲區(qū)，設(shè)置問題“陷阱”。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的認(rèn)知盲區(qū)，教師如能設(shè)計一些似是而非、模棱兩可的問題，引誘學(xué)生作出錯誤判斷，讓學(xué)生驗(yàn)證，自主糾錯，從而消除模糊認(rèn)識，充分發(fā)揮了“反面教育”的作用。

隨著課程改革的深入發(fā)展，越來越要求打破教材作為唯一課程資源的禁錮，而課程資源意義的日益突顯，對教師開發(fā)和利用課程資源的意識與能力也越來越高。敏銳地捕捉和充分利用數(shù)學(xué)思維“死角”，對于學(xué)生辯證思維的啟蒙教育與提升他們的思維品質(zhì)，具有積極的現(xiàn)實(shí)意義。