融會貫通巧解題

比和比例的知識在實際生活中有著廣泛的應用。比如，我國古代“四大發明”之一的火藥，它的原料是火硝、硫磺和木炭，這三種原料的重量之比是15∶2∶3。在東漢人徐岳編寫的《數術記遺》中，記載了用“量影求高”的方法計算一個較高物體的高度，這也是比例知識在實際應用中的一個方面。以前我們學過的分數和百分數問題，就可以看作比與比例的問題。例如，甲數是乙數的3/4數和乙數的比是3∶4。又如，甲數的2/3數的75%，就是甲數/乙數=75%/2/3，即甲數/乙數=9/8。

知識之間是融會貫通的，挖掘知識之間的內在聯系，對于解答較復雜的問題極有好處。

一、抓住分數、百分數，轉化成比例

分數、百分數應用題中的分數、百分數，往往體現數量間部分與部分、部分與整體之間的關系，利用這個關系，我們可以將其轉化成比例問題來解答。

例1. 三個車間共同生產一批零件，第一車間生產了600個，第二車間生產的是余下的20%，第三車間生產的正好是這批零件的一半。問第二、第三車間一共生產零件多少個？

分析與解：

畫出線段圖

從“第二車間生產的是余下的20%，第三車間生產的正好是這批零件的一半”可知：

①第二車間生產的／余下的=1∶5；

②第三車間生產的占4份，則三個車間生產的總數是8份；

③第一車間生產零件600個對應的是(4-1)份。

列式為：600÷3×5=1000(個)

答：第二、第三車間一共生產零件1000個。

在這道題中，兩個分數的單位“1”不統一，需要對單位“1”進行轉化，但是如果利用比例的思想，則免去了統一單位“1”的麻煩。

二、統一不變量，轉化成連比

兩個數的比叫做單比，兩個以上的數的比叫做連比。遇到連比時，關鍵是將不變量的份數統一，從而作出比較。

例2．柳陰小學的校園里，原來柳樹的棵數是全校樹木總棵數的2/5。今年又栽種了50棵柳樹。這樣，柳樹的棵數就占全校樹木總棵數的5/11。問柳陰小學原來一共有多少棵樹木？

分析與解：

從“原來柳樹的棵數是全校樹木總棵數的2/5”和“種了50棵柳樹后的棵數占全校樹木總棵數的5/11”可知：

列式為：50×(4＋6)=500(棵)

答：柳陰小學原來一共有500棵樹木。

在這道題中，統一了不變量的份數，利用等量代換，使數量關系一目了然，輕松解答。

三、利用數量間的比例關系，巧妙解題

成比例關系的問題是：根據題中兩種相關聯的量是成正比例關系，還是成反比例關系，決定解答方法的問題。解答這類問題的關鍵是，正確判斷題中兩種相關聯的量之間是成正比例還是成反比例。

例3. 甲、乙兩列火車分別從A、B兩站開出，相向而行。甲車先出發20分鐘，相遇時，乙車比甲車多行8千米。已知甲、乙兩車的速度比為3∶4，乙車從B站行到A站需2.5小時。求A、B兩站的距離？

分析與解：在路程一定的情況下，速度與時間成反比。借助這個關系，我們可以輕松解題。下面簡要整理條件：

①甲車行完全程所用的時間為：2.5×4/3=10/3(小時)，則甲車速度為：3/10千米/小時；

②相遇時間：(1-3/10×1/3)÷(3/10+2/5)=9/7(小時)；

③相遇時甲車所行占全程的：9/7÷10/3=27/70；

相遇時乙車所行占全程的：9/7÷2.5=18/35；

④AB兩站的距離為：8÷(18/35-27/70-3/10×1/3)=280(千米)。

答：AB兩地的距離是280千米。

這道行程問題正是運用了“路程一定，速度與時間成反比”的知識，借助工程問題的思想巧妙解題。

綜上所述，我們只有在教學中及時地幫助學生梳理知識結構，溝通知識間的內在聯系，才能使學生融會貫通地運用所學的思想和方法，巧妙靈活地解題，使良好的思維品質與合理的思維習慣得到培養。