一次“磨題”活動的簡介

熟練地解答各種數學題目并能選擇合適的教學方法使學生形成正確的解題方法和技能是小學數學教師必備的專業技能。在長期的教學實踐中，小學數學教師要有意識地進行解題錘煉、琢磨，努力形成解題技能和解體的教學策略，我們將這個過程稱為“磨題”。我們認為“磨題”主要表現在三個層面上：一是把題目做出來；二是能深刻理解題目的內涵，會并能熟練地用多種方法解答，能弄清各種解法之間的聯系；三是能考慮到各種解法與學生間的適應性，即什么樣的解法適合什么樣的學生？從而選擇相應的教學方法和策略。

“磨題”的關鍵是能深刻領會題目的內涵，盡可能用多種方法解答，且弄清各種解法之間的聯系。在教師自己全面準確把握了題目的內涵和解法之后，更重要的是能考慮到各種解法與學生間的適應性，即選擇合適的解法以適應不同的學生。應該說“磨題”最終目的是為了讓學生更好地掌握解題的方法和技巧，而這一目的的實現僅靠教師個體并不能達到，只有通過教師之間的對話和研討才能實現！

例如，我們組織小數教學后備骨干教師進行的一次“磨題”互動中，就以著名的“雞兔同籠”問題為研究的素材，進行了一次深入的研究。

一、弄清什么是“雞兔同籠”

老師們通過查閱資料了解到“雞兔同籠”問題是我國古代著名趣題。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

還了解到日本人又稱“雞圖同籠”為“龜鶴問題”（龜鶴共有100個頭，350只腳，龜、鶴各多少只？），在俄羅斯有人稱其為“人狗問題”（一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數頭一共是十二，數腳一共四十二。人、狗各多少？）

二、獨立探究，尋求多種解法

為便于計算，我們改變了數據出示了這樣一道例題：雞兔同籠共8只，數腳共有22只，雞、兔各有多少只？讓大家來共同研究。

首先，讓教師們自行解答，由他們自主探究不同的解法，力求多種解法！其次，大組交流各自的解法，由主持人將解法一一板書下來，便于梳理和對比。因此出現了以下多種豐富的解法。

解法一：畫圖法。假設8只都是雞，畫8個圓圈表示8只雞頭，每個圓圈下再畫2只腳，而題目中說是22只腳，還少6只腳，所以將其中的三只雞在添上2只腳，這樣就補全了22只腳。這種方法，稱為畫圖補腳法。

解法二：列表法。因為雞兔共有8只，所以通過列舉出：“雞的只數” 、“兔的只數” 和 “腿的只數”也可以求到雞、兔各有多少只。

解法三：方程法。設雞有x只，那么兔有（8-x）只，可列出方程2x+4(8-x)=22，從而求到雞、兔的只數。

解法四：假設8只都是雞，則腳的只數是16只（8×2），比實際的少了6只（22-16），那么就必須用兔子去換雞，一只兔換掉一只雞就會多出兩只腳（4-2），那么，少掉的6只腳就必須用3只兔子去換3只雞，即6÷（4-2）。

解法五：假設8只都是兔，則腳的只數是32只（8×4），比實際的多了10只（32-22），那么就必須用雞去換兔子，一只雞換掉一只兔就會少掉出兩只腳（4-2），那么，多出的10只腳就必須用5只兔子去換5只雞，即10÷（4—2）。

三、加強交流，享受不同的解讀

老師們在列舉出五、六種解法之后并未停止，而是進一步對列舉出的解法進行了深入地思考，出現了不少精彩的解讀。

1. 對應于解法一，有老師提出了畫圖去腳法，即先畫成8只兔，然后逐步去掉2只腳就得到了雞的只數。

2. 對應于解法四，有老師是這樣解讀的。讓每只雞兔都具有“特異功能”，雞飛起來，兔立起來，這時立在地上的腳全是兔的，它的腳數就是22-8×2=6只，因此兔的只數有6÷2=3只，進而知道雞有5只。雞兔具有“特異功能”——想得巧！

3. 對應于解法五，有老師是這樣解讀的。把每只雞的兩個翅膀也當作腳，那么每只雞就有4只腳，與兔的腳數相同，則雞兔共有腳8×4=32只，多了32-22=10只腳，這就是雞的翅膀數，所以雞有10÷2=5只，兔有8-5=3只。把雞翅膀當作腳——想得妙！

4.還有老師是這樣想的：讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只后腳站立著，那么地上的總腳數只是原來的一半，即11只腳。雞的腳數與頭數相同，而兔的腳數是兔的頭數的2倍，因此從11里減去頭數8，剩下來的就是兔的頭數11-8=3只，雞有8-3=5只。金雞獨立，兔子作揖——想得奇！

5.對“金雞獨立，兔子作揖”還有更奇特的解讀：讓每只兔子又長出一個頭來，然后將它劈開，變成“一頭兩腳”的兩只“半兔”，半兔與雞都是兩只腳，因而共有22÷2=11只雞兔，11-8=3只，這就是兔子的數目，（因為每只兔子變為兩只“半兔”，只數增加1只），當然雞就有8-3=5只。把兔“劈開”成“半兔”——想得特！

通過對話交流，老師們對“雞圖同籠”的解答有了進一步的認識，在分享解讀的過程中，達到了融會貫通之目的。

四、建構模型，發揮名題的作用

在積極尋求和充分理解了“雞圖同籠”問題的解法和思路之后，老師們對這一問題的實質進行了提煉。從代數的角度思考，可以用二元一次方程去解答。同時作為有趣的算術題，對初學算術四則應用題的學生的邏輯推理能力和運算技巧很有幫助。許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題，或者用解它的典型解法來求解。關鍵是要找準變形后的“雞”、“兔”，或者說要認清題目中的“怪雞”和“怪兔”。老師們對常見的一些應用題進行了分析、歸納。

1. 12張乒乓球臺上同時有34人正進行乒乓球比賽，正在進行單打和雙打比賽的球臺各有幾張？（雞2腳，兔4腳，共12頭，34腳，問：雞？只，兔？只。）

2. 30枚硬幣，由2分和5分組成，共值9角9分，2分、5分硬幣各有多少枚？（雞2腳，兔5腳，共30頭，99腳，問：雞？只，兔？只。）

3. 小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個，雨天每天可以采12個。6天后共采集蘑菇88個。求晴天有多少天？雨天呢？（怪雞12腳，怪兔20腳，共8頭，112腳，問：怪雞？只，怪兔？只。）

4. 工地上運來長度分別為8米和5米的兩種規格的管子共25根，現在用它們鋪設管道一共鋪設了173米。工地上運來兩種管道各多少根？（怪雞5腳，怪兔8腳，共25頭，173腳，問：怪雞？只，怪兔？只。）

由以上所舉例子可見小學數學中的這類問題都可以轉化成雞兔同籠這個模型去解決。

“磨題”作為一種有效的教師校本研修方式，可以使教師有較為清晰的解題思路，并在反思中對比各種解法，從而尋求到最佳的解題思路。在“磨題”的歷練過程中可以暴露思維的過程，梳理解題路徑，體驗思維的樂趣，感受學生解題的艱辛。更重要的是“磨題”為教師提供了專業對話的平臺，在磨礪的過程中，發生思維的碰撞，分享思想的成果，從而真正促進數學教師的專業化發展！